题目

水流通过变截面弯管,若已知弯管的直径_(A)=200mm _(B)=150mm,流量_(A)=200mm _(B)=150mm。断面A-A的相对压强_(A)=200mm _(B)=150mm,管中心线均在同一水平面上,求固定此管所需的力(不计水头损失)。_(A)=200mm _(B)=150mm

水流通过变截面弯管,若已知弯管的直径,流量。断面A-A的相对压强,管中心线均在同一水平面上,求固定此管所需的力(不计水头损失)。

题目解答

答案

解:

列A-A断面与B-B断面伯努利方程

…………(1)

由连续性方程得 …………(2)

联立{1}(2)可求出,及

所选的控制体如图所示,

列X轴方程 …………(3)

列Y轴方程 …………(4)

求出,

由作用力与反作用力原理得所需力 (由于夹角没给出,所以不能给出具体答案)

解析

本题考查流体力学中伯努利方程、连续性方程以及动量方程的应用，解题思路是先根据连续性方程和伯努利方程求出两断面的流速和压强，再通过动量方程求出弯管对流体的作用力，最后根据作用力与反作用力原理得到固定此管所需的力。

  1. 根据连续性方程求流速关系：
    • 连续性方程为$V_{A}A_{A}=V_{B}A_{B}=Q$，其中$A_{A}=\frac{\pi}{4}d_{A}^{2}$，$A_{B}=\frac{\pi}{4}d_{B}^{2}$。
    • 则$V_{A}\frac{\pi}{4}d_{A}^{2}=V_{B}\frac{\pi}{4}d_{B}^{2}=Q$，由此可得$\frac{V_{A}}{V_{B}} = (\frac{d_{B}}{d_{A}})^2$。
    • 已知$d_{A}=200mm = 0.2m$，$d_{B}=150mm = 0.15m$，代入可得$\frac{V_{A}}{V_{B}} = (\frac{0.15}{0.2})^2=\frac{9}{16}$，即$V_{B}=\frac{16}{9}V_{A}$。
    • 又因为$Q = V_{A}A_{A}=V_{A}\frac{\pi}{4}d_{A}^{2}=0.1m^{3}/s$，将$d_{A}=0.2m$代入可得：
      $V_{A}=\frac{Q}{\frac{\pi}{4}d_{A}^{2}}=\frac{0.1}{\frac{\pi}{4}\times0.2^{2}}\approx3.18m/s$。
    • 那么$V_{B}=\frac{16}{9}V_{A}=\frac{16}{9}\times3.18\approx5.58m/s$。
  2. 根据伯努利方程求$P_{B}$：
    • 因为管中心线均在同一水平面上，所以$z_{A}=z_{B}$，伯努利方程$z_{A}+\frac{P_{A}}{\rho g}+\frac{V_{A}^{2}}{2g}=z_{B}+\frac{P_{B}}{\rho g}+\frac{V_{B}^{2}}{2g}$可化简为$\frac{P_{A}}{\rho g}+\frac{V_{A}^{2}}{2g}=\frac{P_{B}}{\rho g}+\frac{V_{B}^{2}}{2g}$。
    • 已知$P_{A}=18kN/m^{2}=18000N/m^{2}$，$\rho = 1000kg/m^{3}$，$g = 9.8m/s^{2}$，$V_{A}\approx3.18m/s$，$V_{B}\approx5.58m/s$，代入可得：
      $\frac{18000}{1000\times9.8}+\frac{3.18^{2}}{2\times9.8}=\frac{P_{B}}{1000\times9.8}+\frac{5.58^{2}}{2\times9.8}$。
    • 先计算等式左边：$\frac{18000}{1000\times9.8}+\frac{3.18^{2}}{2\times9.8}\approx1.84 + 0.51 = 2.35$。
    • 再计算等式右边$\frac{5.58^{2}}{2\times9.8}\approx1.59$，则$\frac{P_{B}}{1000\times9.8}=2.35 - 1.59 = 0.76$，解得$P_{B}=0.76\times1000\times9.8 = 7448N/m^{2}$。
  3. 根据动量方程求$R_{x}$和$R_{y}$：
    • 设弯管与水平方向夹角为$\theta$，列$x$轴方程$P_{A}A_{A}+R_{x}=P_{B}A_{B}\cos\theta$，列$y$轴方程$R_{y}=P_{B}A_{B}\sin\theta$。
    • 其中$A_{A}=\frac{\pi}{4}d_{A}^{2}=\frac{\pi}{4}\times0.2^{2}\approx0.0314m^{2}$，$A_{B}=\frac{\pi}{4}d_{B}^{2}=\frac{\pi}{4}\times0.15^{2}\approx0.0177m^{2}$。
    • 则$P_{A}A_{A}=18000\times0.0314 = 565.2N$，$P_{B}A_{B}=7448\times0.0177\approx131.83N$。
    • 所以$R_{x}=P_{B}A_{B}\cos\theta - P_{A}A_{A}=131.83\cos\theta - 565.2$，$R_{y}=P_{B}A_{B}\sin\theta = 131.83\sin\theta$。
  4. 求固定此管所需的力$F$：
    • 由作用力与反作用力原理得所需力$F=\sqrt{R_{x}^{2}+R_{y}^{2}}=\sqrt{(131.83\cos\theta - 565.2)^{2}+(131.83\sin\theta)^{2}}$。
    • 展开可得$F=\sqrt{131.83^{2}\cos^{2}\theta - 2\times131.83\times565.2\cos\theta + 565.2^{2}+131.83^{2}\sin^{2}\theta}$。
    • 因为$\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1$，所以$F=\sqrt{131.83^{2}- 2\times131.83\times565.2\cos\theta + 565.2^{2}}$。
    • 力的方向$\theta_{F}=\arctan\frac{R_{y}}{R_{x}}=\arctan\frac{131.83\sin\theta}{131.83\cos\theta - 565.2}$（由于夹角$\theta$没给出，所以不能给出具体答案）。