有正、逆反应各为一级的对峙反应：D−R1R2R3CBrk1⟷k−1L−R1R2R3CBr，正、逆反应的半衰期均为 t1/2=10min，若起始时 D−R1R2R3CBr 的物质的量为 1 mol，试计算在 10min 后，生成 L−R1R2R3CBr 的量。

考查要点：本题主要考查对峙反应（互为一级反应）的动力学计算，涉及半衰期与速率常数的关系、微分方程的建立与求解，以及浓度随时间变化的分析。

解题核心思路：

1. 确定速率常数：根据半衰期公式 $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$，结合正逆反应半衰期均为 $10\ \text{min}$，得出正逆反应速率常数 $k_1 = k_{-1} = 0.0693\ \text{min}^{-1}$。
2. 建立微分方程：利用正逆反应速率表达式，结合总物质的量守恒（$[D] + [L] = 1\ \text{mol}$），将问题转化为关于单一变量的微分方程。
3. 求解微分方程：通过积分因子法求解线性微分方程，得到 $[L]$ 的表达式。
4. 代入时间计算：将 $t = 10\ \text{min}$ 代入表达式，最终求得生成物 $L$ 的物质的量。

破题关键点：

• 速率常数相等：正逆反应速率常数相等（$k_1 = k_{-1}$），导致平衡常数 $K = 1$。
• 指数衰减规律：浓度变化遵循指数函数，需注意 $e^{-2kt}$ 的简化计算（如利用 $\ln 4 \approx 1.386$）。

步骤1：确定速率常数

根据半衰期公式 $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$，正逆反应速率常数均为：
$k_1 = k_{-1} = \frac{0.693}{10} \approx 0.0693\ \text{min}^{-1}.$

步骤2：建立微分方程

设 $[D]$ 和 $[L]$ 分别为 $D$ 和 $L$ 的浓度，总物质的量守恒为：
$[D] + [L] = 1\ \text{mol}.$
正逆反应速率分别为：
$\text{正反应速率} = k_1 [D], \quad \text{逆反应速率} = k_{-1} [L].$
净变化率方程为：
$\frac{d[D]}{dt} = -k_1 [D] + k_{-1} [L].$
代入 $[L] = 1 - [D]$，得：
$\frac{d[D]}{dt} = -k_1 [D] + k_{-1} (1 - [D]).$

步骤3：求解微分方程

因 $k_1 = k_{-1} = k$，方程化简为：
$\frac{d[D]}{dt} = -2k [D] + k.$
解得通解：
$[D] = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{-2kt}.$
代入初始条件 $t = 0$ 时 $[D] = 1$，确定常数后得：
$[D] = \frac{1}{2} \left(1 + e^{-2kt}\right).$
因此，$[L] = 1 - [D] = \frac{1}{2} \left(1 - e^{-2kt}\right)$.

步骤4：代入时间计算

将 $k = 0.0693\ \text{min}^{-1}$ 和 $t = 10\ \text{min}$ 代入：
$2kt = 2 \cdot 0.0693 \cdot 10 = 1.386 \approx \ln 4,$
故 $e^{-2kt} = \frac{1}{4}$，代入 $[L]$ 表达式：
$[L] = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{3}{8} = 0.375\ \text{mol}.$