在300K时,某反应完成20% 需时12.6min,在340K时,需时3.20min,试计算其活化能。

考查要点：本题主要考查阿伦尼乌斯方程的应用，以及如何通过不同温度下的反应时间计算活化能。
解题核心思路：

1. 确定反应级数：题目未明确反应级数，但根据转化率与时间的关系，假设为一级反应，此时速率常数$k$与反应时间$t$成反比。
2. 建立速率常数关系：利用相同转化率下不同温度的反应时间比，得到$k_2/k_1 = t_1/t_2$。
3. 应用阿伦尼乌斯方程：通过温度与速率常数的关系，推导出活化能$E_a$的表达式，代入数据计算。

步骤1：建立速率常数与时间的关系

对于一级反应，转化率$X=0.2$时，速率常数$k$与时间$t$满足：
$kt = \ln\left(\frac{1}{1-X}\right) \implies k = \frac{\ln(1/(1-0.2))}{t} = \frac{\ln(5/4)}{t}$
因此，速率常数与时间成反比：
$\frac{k_2}{k_1} = \frac{t_1}{t_2} = \frac{12.6}{3.20}$

步骤2：应用阿伦尼乌斯方程

阿伦尼乌斯方程的比值形式为：
$\ln\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{R} \cdot \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2}$
将$\frac{k_2}{k_1} = \frac{t_1}{t_2}$代入，得：
$\ln\left(\frac{t_1}{t_2}\right) = \frac{E_a (T_2 - T_1)}{R T_1 T_2}$
整理得活化能表达式：
$E_a = \frac{R T_1 T_2 \ln\left(\frac{t_1}{t_2}\right)}{T_2 - T_1}$

步骤3：代入数据计算

已知$T_1=300\ \text{K}$，$T_2=340\ \text{K}$，$t_1=12.6\ \text{min}$，$t_2=3.20\ \text{min}$，$R=8.314\ \text{J/mol·K}$：

1. 计算对数项：
   $\ln\left(\frac{12.6}{3.20}\right) = \ln(3.9375) \approx 1.370$
2. 代入公式：
   $E_a = \frac{8.314 \times 300 \times 340 \times 1.370}{340 - 300}$
3. 分步计算：
   • 分子：$8.314 \times 300 = 2494.2$
   • $2494.2 \times 340 = 848,028$
   • $848,028 \times 1.370 \approx 1,161,797$
   • 分母：$340 - 300 = 40$
   • 最终结果：$E_a = \frac{1,161,797}{40} \approx 29,045\ \text{J/mol}$