题目
沉降法在土壤粒径分析技术中常被采用。已知一密度为.7times (10)^3kg/(m)^3的土壤颗粒在黏滞系数.7times (10)^3kg/(m)^3,密度为.7times (10)^3kg/(m)^3的液体中收尾速度为0.01 m/s,则此土壤颗粒半径为____
沉降法在土壤粒径分析技术中常被采用。已知一密度为
的土壤颗粒在黏滞系数
,密度为
的液体中收尾速度为0.01 m/s,则此土壤颗粒半径为____
题目解答
答案
土壤颗粒在液体中做匀速运动时，受到重力、浮力和黏滞阻力的作用，根据平衡条件得：
其中
联立解得：
代入数据解得：
解析
步骤 1：确定土壤颗粒在液体中收尾速度时的受力平衡
土壤颗粒在液体中做匀速运动时，受到重力、浮力和黏滞阻力的作用。根据受力平衡条件，重力等于浮力加上黏滞阻力。
步骤 2：列出受力平衡方程
重力为$mg$，浮力为${\rho }_{液}Vg$，黏滞阻力为$6\pi \eta Rv$，其中$m$为土壤颗粒的质量，${\rho }_{液}$为液体的密度，$V$为土壤颗粒的体积，$\eta$为液体的黏滞系数，$R$为土壤颗粒的半径，$v$为收尾速度。根据受力平衡条件，有：
$mg={\rho }_{液}Vg+6\pi \eta Rv$
步骤 3：将土壤颗粒的质量和体积用密度和半径表示
土壤颗粒的质量$m={\rho }_{土}V$，其中${\rho }_{土}$为土壤颗粒的密度。土壤颗粒的体积$V=\dfrac {4}{3}\pi {R}^{3}$。将这两个表达式代入步骤2中的方程，得到：
${\rho }_{土}\dfrac {4}{3}\pi {R}^{3}g={\rho }_{液}\dfrac {4}{3}\pi {R}^{3}g+6\pi \eta Rv$
步骤 4：解方程求土壤颗粒的半径
将方程简化为：
${\rho }_{土}{R}^{2}={\rho }_{液}{R}^{2}+\dfrac {9\eta v}{2g}$
解得：
$R=\sqrt {\dfrac {9\eta v}{2g({\rho }_{土}-{\rho }_{液})}}$
代入已知数据，得到：
$R=\sqrt {\dfrac {9\times 1.2\times 0.01}{2\times 9.8\times (2.7\times {10}^{3}-0.9\times {10}^{3})}}$
$R=1.5\times {10}^{-5}m$
土壤颗粒在液体中做匀速运动时，受到重力、浮力和黏滞阻力的作用。根据受力平衡条件，重力等于浮力加上黏滞阻力。
步骤 2：列出受力平衡方程
重力为$mg$，浮力为${\rho }_{液}Vg$，黏滞阻力为$6\pi \eta Rv$，其中$m$为土壤颗粒的质量，${\rho }_{液}$为液体的密度，$V$为土壤颗粒的体积，$\eta$为液体的黏滞系数，$R$为土壤颗粒的半径，$v$为收尾速度。根据受力平衡条件，有：
$mg={\rho }_{液}Vg+6\pi \eta Rv$
步骤 3：将土壤颗粒的质量和体积用密度和半径表示
土壤颗粒的质量$m={\rho }_{土}V$，其中${\rho }_{土}$为土壤颗粒的密度。土壤颗粒的体积$V=\dfrac {4}{3}\pi {R}^{3}$。将这两个表达式代入步骤2中的方程，得到：
${\rho }_{土}\dfrac {4}{3}\pi {R}^{3}g={\rho }_{液}\dfrac {4}{3}\pi {R}^{3}g+6\pi \eta Rv$
步骤 4：解方程求土壤颗粒的半径
将方程简化为：
${\rho }_{土}{R}^{2}={\rho }_{液}{R}^{2}+\dfrac {9\eta v}{2g}$
解得：
$R=\sqrt {\dfrac {9\eta v}{2g({\rho }_{土}-{\rho }_{液})}}$
代入已知数据，得到：
$R=\sqrt {\dfrac {9\times 1.2\times 0.01}{2\times 9.8\times (2.7\times {10}^{3}-0.9\times {10}^{3})}}$
$R=1.5\times {10}^{-5}m$