题目

有一薄壁管,材料的屈服应力为,承受拉力和扭转力,的联合作用而屈服,现在已知,试求剪应力以及应变增量各分量之间的比值。(材料服从mises准则)

有一薄壁管,材料的屈服应力为 $\sigma$ ,承受拉力和扭转力 $\sigma_s$ ,的联合作用而屈服,现在已知 $\sigma_2=0.5\sigma_s$ ,试求剪应力 $\tau_Z\theta$ 以及应变增量各分量之间的比值。(材料服从mises准则)

题目解答

答案

要解决这个问题，我们可以利用薄壁管在承受拉力和扭转力时的应力状态和材料屈服准则。

对于薄壁管，假设其内外半径分别为 $(r_i)$ 和 $(r_o)$ ，那么我们可以定义以下变量：

拉力产生的轴向应力为：

$[\sigma=\frac{P}{A}=\frac{P}{\pi(r_o^2-r_i^2)}]$

扭矩产生的剪应力为：

$[\tau=\frac{T}{J}\cdot r=\frac{T}{\frac{\pi}{2}(r_o^4-r_i^4)}\cdot r]$

在薄壁管中，我们可以简单化，利用平均半径 $(r\approx\frac{r_o+r_i}{2})$ 来计算扭转引起的剪切应力。

已知条件为：

$(\sigma_2=0.5\sigma_s)$

设屈服条件为 von Mises 屈服准则，即：

$[\sigma_1^2-\sigma_1\sigma_2+\sigma_2^2+3\tau^2=\sigma_y^2]$

我们可以设定：

$(\sigma_1)$ 为拉伸应力，

$(\sigma_2)$ 为横向应力（在这里为 0），

$(\tau)$ 为剪应力。

根据给定的信息，将这些代入：

$(\sigma_1=\sigma_s)$

$(\sigma_2=0.5\sigma_s)$

将这些值代入 von Mises 方程：

$[\sigma_s^2-\sigma_s(0.5\sigma_s)+(0.5\sigma_s)^2+3\tau^2=\sigma^2]$

简化得到：

$[\sigma_s^2-0.5\sigma_s^2+0.25\sigma_s^2+3\tau^2=\sigma^2]$

$[1.75\sigma_s^2+3\tau^2=\sigma^2]$

为了求出剪应力和应变增量的比值，首先求解 $(\tau)$ 且设定 $(\sigma_s)$ 为单位，应得：

$[3\tau^2=\sigma^2-1.75\sigma_s^2]$

$[\tau=\sqrt{\frac{\sigma^2-1.75\sigma_s^2}{3}}]$

接下来通过 Hooke 定律来找应变：

$[\epsilon=\frac{\sigma}{E}\quad(\text{轴向应变})]$

$[\epsilon_{\text{shear}}=\frac{\tau}{G}\quad(\text{剪切应变})]$

这里 (E) 是材料的弹性模量，(G) 是剪切模量。通过关系 $(G=\frac{E}{2(1+\nu)})$ 进行转换。

因此应变增量的比值：

$[\frac{\epsilon}{\epsilon_{\text{shear}}}=\frac{\frac{\sigma}{E}}{\frac{\tau}{G}}=\frac{\sigma G}{\tau E}]$

解析

考查要点：本题主要考查Mises屈服准则在薄壁管受拉扭联合作用下的应用，以及应变增量比值的计算。
解题核心思路：

确定应力分量：拉力产生轴向正应力$\sigma_1$，扭转产生剪应力$\tau$，已知横向正应力$\sigma_2=0.5\sigma_s$。
应用Mises准则：建立屈服方程，联立求解剪应力$\tau$。
胡克定律求应变：通过正应力与剪应力分别计算正应变和剪应变，最终求比值。
关键点：正确写出Mises准则表达式，注意弹性模量$E$与剪切模量$G$的关系。

1. 确定应力分量与屈服条件

轴向正应力：$\sigma_1 = \sigma_s$（拉力作用下达到屈服）。
横向正应力：$\sigma_2 = 0.5\sigma_s$（题目给定）。
剪应力：$\tau$（待求）。

Mises屈服准则（轴对称情况）：
$\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - \sigma_1\sigma_2 + 3\tau^2 = \sigma_s^2$

2. 代入已知条件求解$\tau$

将$\sigma_1 = \sigma_s$，$\sigma_2 = 0.5\sigma_s$代入方程：
$\sigma_s^2 + (0.5\sigma_s)^2 - \sigma_s \cdot 0.5\sigma_s + 3\tau^2 = \sigma_s^2$
展开并整理：
$\sigma_s^2 + 0.25\sigma_s^2 - 0.5\sigma_s^2 + 3\tau^2 = \sigma_s^2$
$0.75\sigma_s^2 + 3\tau^2 = \sigma_s^2$
解得：
$3\tau^2 = 0.25\sigma_s^2 \quad \Rightarrow \quad \tau = \frac{\sigma_s}{2\sqrt{3}}$

3. 计算应变增量比值

正应变：$\varepsilon_1 = \frac{\sigma_1}{E} = \frac{\sigma_s}{E}$
剪应变：$\gamma = \frac{\tau}{G} = \frac{\sigma_s}{2\sqrt{3}G}$
弹性模量与剪切模量关系：$G = \frac{E}{2(1+\nu)}$

代入$\gamma$表达式：
$\gamma = \frac{\sigma_s}{2\sqrt{3} \cdot \frac{E}{2(1+\nu)}} = \frac{\sigma_s (1+\nu)}{\sqrt{3}E}$

应变比值：
$\frac{\varepsilon_1}{\gamma} = \frac{\frac{\sigma_s}{E}}{\frac{\sigma_s (1+\nu)}{\sqrt{3}E}} = \frac{\sqrt{3}}{1+\nu}$