11-2 图示三角形截面对底边BC的惯性矩为 (h)^3/12, 试求该截面对通过顶点A并-|||-平行于底边BC的z轴的惯性矩。-|||-A-|||-z-|||-B-|||-b C-|||-题 11-2 图

本题考查知识点为惯性矩的平行移轴定理。解题思路是先确定三角形截面形心轴的位置，再利用惯性矩的平行移轴定理，通过已知的截面对底边$BC$的惯性矩，分两次应用该定理来计算截面对通过顶点$A$并平行于底边$BC$的$z$轴的惯性矩。

步骤一：确定三角形截面形心轴位置

对于三角形截面，其形心位于三条中线的交点。设三角形的高为$h$，底边为$b$，形心轴$z_c$平行于底边$BC$，且形心到$BC$边的距离为$h/3$，到顶点$A$的距离为$2h/3$。

步骤二：根据平行移轴定理建立关系

惯性矩的平行移轴定理公式为$I_{z_1}=I_{z_c}+a^2A$，其中$I_{z_1}$是截面对某一轴的惯性矩，$I_{z_c}$是截面对形心轴的惯性矩，$a$是两轴之间的距离，$A$是截面的面积。
已知三角形截面对底边$BC$的惯性矩$I_{BC}=\frac{bh^3}{12}$，设形心轴为$z_c$，根据平行移轴定理可得：
$I_{BC}=I_{z_c}+(\frac{h}{3})^2A$
三角形的面积$A = \frac{1}{2}bh$，将其代入上式可得：
$\frac{bh^3}{12}=I_{z_c}+(\frac{h}{3})^2\times\frac{1}{2}bh$
$\frac{bh^3}{12}=I_{z_c}+\frac{bh^3}{18}$
移项可得形心轴$z_c$的惯性矩$I_{z_c}$为：
$I_{z_c}=\frac{bh^3}{12}-\frac{bh^3}{18}$
通分计算：
$I_{z_c}=\frac{3bh^3}{36}-\frac{2bh^3}{36}=\frac{bh^3}{36}$

步骤三：计算截面对$z$轴的惯性矩

设通过顶点$A$并平行于底边$BC$的轴为$z$轴，$z$轴与形心轴$z_c$的距离为$\frac{2h}{3}$，再次根据平行移轴定理可得：
$I_{z}=I_{z_c}+(\frac{2h}{3})^2A$
将$I_{z_c}=\frac{bh^3}{36}$和$A = \frac{1}{2}bh$代入上式可得：
$I_{z}=\frac{bh^3}{36}+(\frac{2h}{3})^2\times\frac{1}{2}bh$
$I_{z}=\frac{bh^3}{36}+\frac{4bh^3}{18}$
通分计算：
$I_{z}=\frac{bh^3}{36}+\frac{8bh^3}{36}=\frac{bh^3}{4}$