题目

已知:某齿轮液压马达的排量为10(mL/r),供油压力为10(MPa),供油流量为4times10^-4(m)^3/(s),容积效率和机械效率均为0.87。 试求:马达的实际转速、理论转矩和实际输出功率。

已知:某齿轮液压马达的排量为$10\text{mL/r}$,供油压力为$10\text{MPa}$,供油流量为$4\times10^{-4}\text{m}^3/\text{s}$,容积效率和机械效率均为0.87。 试求:马达的实际转速、理论转矩和实际输出功率。

题目解答

答案

1. 根据 $ n = \frac{q \eta_v}{V} $，可得： \[ n = \frac{4 \times 10^{-4} \times 0.87}{1 \times 10^{-5}} = 34.8 \, \text{r/s} = 2088 \, \text{r/min} \] 2. 理论转矩： \[ T_t = \frac{p V}{2\pi} = \frac{10^7 \times 1 \times 10^{-5}}{2\pi} \approx 15.92 \, \text{N·m} \] 3. 实际输出转矩： \[ T = T_t \times \eta_m = 15.92 \times 0.87 \approx 13.85 \, \text{N·m} \] 4. 实际输出功率： \[ P = T \times 2\pi n = 13.85 \times 2\pi \times 34.8 \approx 3028 \, \text{W} = 3.03 \, \text{kW} \] 或： \[ P = \eta p q = 0.7569 \times 10^7 \times 4 \times 10^{-4} = 3028 \, \text{W} = 3.03 \, \text{kW} \] 综上： - 实际转速：$ n = 34.8 \, \text{r/s} $（或 $ 2088 \, \text{r/min} $）。 - 理论转矩：$ T_t \approx 15.92 \, \text{N·m} $。 - 实际输出功率：$ P \approx 3.03 \, \text{kW} $。

解析

本题主要考察齿轮液压马达的实际转速、理论转矩和实际输出功率的计算，解题思路如下：

  1. 计算实际转速：
    • 首先明确实际转速$n$的计算公式为$n = \frac{q \eta_v}{V}$，其中$q$是供油流量，$\eta_v$是容积效率，$V$是马达排量。
    • 已知供油流量$q = 4\times10^{-4}\text{m}^3/\text{s}$，容积效率$\eta_v = 0.87$，排量$V = 10\text{mL/r}=10\times10^{-6}\text{m}^3/\text{r}=1\times10^{-5}\text{m}^3/\text{r}$。
    • 将数值代入公式可得：
      $\begin{align*}n&=\frac{4\times10^{-4}\times0.87}{1\times10^{-5}}\\&=\frac{4\times0.87\times10^{-4}}{1\times10^{-5}}\\&=4\times0.87\times10\\&=34.8\text{r/s}\end{align*}$
    • 因为$1\text{r/min}=\frac{1}{60}\text{r/s}$，所以将$n = 34.8\text{r/s}$换算为$\text{r/min}$为：$n = 34.8\times60 = 2088\text{r/min}$。
  2. 计算理论转矩：
    • 理论转矩$T_t$的计算公式为$T_t = \frac{p V}{2\pi}$，其中$p$是供油压力，$V$是马达排量。
    • 已知供油压力$p = 10\text{MPa}=10\times10^6\text{Pa}=10^7\text{Pa}$，排量$V = 1\times10^{-5}\text{m}^3/\text{r}$。
    • 将数值代入公式可得：
      $\begin{align*}T_t&=\frac{10^7\times1\times10^{-5}}{2\pi}\\&=\frac{10^2}{2\pi}\\&=\frac{100}{2\pi}\\&\approx15.92\text{N·m}\end{align*}$
  3. 计算实际输出功率：
    • 方法一：先根据实际输出转矩$T = T_t\times\eta_m$（其中$\eta_m$是机械效率）求出实际输出转矩，再根据$P = T\times2\pi n$计算实际输出功率。
      • 已知$T_t\approx15.92\text{N·m}$，机械效率$\eta_m = 0.87$，则实际输出转矩$T = 15.92\times0.87\approx13.85\text{N·m}$。
      • 又已知$n = 34.8\text{r/s}$，将$T$和$n$代入$P = T\times2\pi n$可得：
        $\begin{align*}P&=13.85\times2\pi\times34.8\\&\approx13.85\times2\times3.14\times34.8\\&\approx3028\text{W}\\&=3.03\text{kW}\end{align*}$
    • 方法二：根据$P = \eta p q$（其中$\eta=\eta_v\times\eta_m$是总效率）计算实际输出功率。
      • 已知$\eta_v = 0.87$，$\eta_m = 0.87$，则总效率$\eta = 0.87\times0.87 = 0.7569$，供油压力$p = 10^7\text{Pa}$，供油流量$q = 4\times10^{-4}\text{m}^3/\text{s}$。
      • 将数值代入公式可得：
        $\begin{align*}P&=0.7569\times10^7\times4\times10^{-4}\\&=0.7569\times4\times10^3\\&=3027.6\text{W}\\&\approx3028\text{W}\\&=3.03\text{kW}\end{align*}$