题目
圆形截面细长压杆,直径增加1倍,若仍为细长压杆,其余条件不变,则临界压力为原来的A. 2倍B. 4倍C. 8倍D. 16倍
圆形截面细长压杆,直径增加1倍,若仍为细长压杆,其余条件不变,则临界压力为原来的
A. 2倍
B. 4倍
C. 8倍
D. 16倍
题目解答
答案
D. 16倍
解析
步骤 1：确定临界压力的公式
临界压力 \(P_{cr}\) 可以通过欧拉公式计算，对于细长压杆，其公式为：
\[ P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{(KL)^2} \]
其中，\(E\) 是材料的弹性模量，\(I\) 是截面的惯性矩，\(K\) 是长度系数，\(L\) 是压杆的长度。
步骤 2：计算截面惯性矩
对于圆形截面，其惯性矩 \(I\) 为：
\[ I = \frac{\pi d^4}{64} \]
其中，\(d\) 是直径。
步骤 3：分析直径增加1倍对临界压力的影响
当直径增加1倍时，新的直径为 \(2d\)，新的惯性矩 \(I'\) 为：
\[ I' = \frac{\pi (2d)^4}{64} = \frac{16\pi d^4}{64} = 16 \cdot \frac{\pi d^4}{64} = 16I \]
因此，新的临界压力 \(P'_{cr}\) 为：
\[ P'_{cr} = \frac{\pi^2 E I'}{(KL)^2} = \frac{\pi^2 E \cdot 16I}{(KL)^2} = 16 \cdot \frac{\pi^2 EI}{(KL)^2} = 16P_{cr} \]
临界压力 \(P_{cr}\) 可以通过欧拉公式计算，对于细长压杆，其公式为：
\[ P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{(KL)^2} \]
其中，\(E\) 是材料的弹性模量，\(I\) 是截面的惯性矩，\(K\) 是长度系数，\(L\) 是压杆的长度。
步骤 2：计算截面惯性矩
对于圆形截面，其惯性矩 \(I\) 为：
\[ I = \frac{\pi d^4}{64} \]
其中，\(d\) 是直径。
步骤 3：分析直径增加1倍对临界压力的影响
当直径增加1倍时，新的直径为 \(2d\)，新的惯性矩 \(I'\) 为：
\[ I' = \frac{\pi (2d)^4}{64} = \frac{16\pi d^4}{64} = 16 \cdot \frac{\pi d^4}{64} = 16I \]
因此，新的临界压力 \(P'_{cr}\) 为：
\[ P'_{cr} = \frac{\pi^2 E I'}{(KL)^2} = \frac{\pi^2 E \cdot 16I}{(KL)^2} = 16 \cdot \frac{\pi^2 EI}{(KL)^2} = 16P_{cr} \]