某信源符号集由字母 A、B、C、D 组成，若传输每一个字母用二进制[1]码元[2]编码，“00”代替 A，“01”代替 B，“10”代替 C，“11”代替 D，每个二进制码元宽度为 5ms。(1) 不同的字母是等可能出现时，试计算传输的平均信息速率；(2) 若每个字母出现的可能性分别为P_A = (1)/(5), P_B = (1)/(4), P_C = (1)/(4), P_D = (3)/(10)试计算传输的平均信息速率。

我们来逐步分析并解决这个信息论的问题。

题目解析：

信源符号集：{A, B, C, D}
编码方式：

• A → 00
• B → 01
• C → 10
• D → 11
  每个二进制码元宽度为 5ms，即每个码元持续 0.005 秒。

第(1)问：不同字母等可能出现时，计算平均信息速率

步骤1：求每个符号的信息量（熵）

由于四个字母等可能出现，即：

$P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = \frac{1}{4}$

信源的熵（平均信息量）为：

$H(X) = -\sum_{i=1}^{4} P(x_i) \log_2 P(x_i) = -4 \cdot \frac{1}{4} \log_2 \frac{1}{4} = -\log_2 \frac{1}{4} = \log_2 4 = 2 \text{ bit/符号}$

步骤2：计算每个符号的传输时间

每个符号用两个二进制码元表示，每个码元宽 5ms：

$\text{每个符号传输时间} = 2 \times 5ms = 10ms = 0.01 \text{ 秒}$

步骤3：计算平均信息速率

信息速率（单位：bit/s）= 每个符号的信息量 / 每个符号的传输时间

$R = \frac{2 \text{ bit}}{0.01 \text{ s}} = 200 \text{ bit/s}$

第(1)问答案：

$\boxed{200} \text{ bit/s}$

第(2)问：字母出现概率不同时，计算平均信息速率

给定概率：

$P_A = \frac{1}{5}, \quad P_B = \frac{1}{4}, \quad P_C = \frac{1}{4}, \quad P_D = \frac{3}{10}$

验证概率和是否为1：

$\frac{1}{5} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{10} = \frac{2}{10} + \frac{2.5}{10} + \frac{2.5}{10} + \frac{3}{10} = \frac{10}{10} = 1$

步骤1：计算信源熵

$H(X) = -\sum P(x_i) \log_2 P(x_i)$

分别计算：

• $ -\frac{1}{5} \log_2 \frac{1}{5} \approx -0.2 \times (-2.3219) = 0.4644 $
• $ -\frac{1}{4} \log_2 \frac{1}{4} = -0.25 \times (-2) = 0.5 $
• $ -\frac{1}{4} \log_2 \frac{1}{4} = 0.5 $
• $ -\frac{3}{10} \log_2 \frac{3}{10} \approx -0.3 \times (-1.73697) = 0.5211 $

总和：

$H(X) \approx 0.4644 + 0.5 + 0.5 + 0.5211 = 1.9855 \text{ bit/符号}$

步骤2：符号传输时间仍为 0.01 秒

步骤3：计算平均信息速率

$R = \frac{1.9855}{0.01} = 198.55 \text{ bit/s}$

第(2)问答案：

$\boxed{198.55} \text{ bit/s}$

✅ 最终答案总结：

(1) 当字母等可能出现时，平均信息速率为：$\boxed{200} \text{ bit/s}$
(2) 当字母出现概率分别为 $P_A = \frac{1}{5}, P_B = \frac{1}{4}, P_C = \frac{1}{4}, P_D = \frac{3}{10}$ 时，平均信息速率为：$\boxed{198.55} \text{ bit/s}$