液压阻尼器原理如图所示。其中，弹簧与活塞刚性联接，忽略运动件的惯性力，且设xi 为输入位移， xo为输出位移， k弹簧刚度， c为粘性阻尼系数，求输出与输入之间的传递函数和系统的单位斜坡响应。 x1-|||-x,-|||-k

步骤 1：建立力平衡方程
根据题目描述，活塞受到的力包括弹簧力和粘性阻尼力。弹簧力为 $k(x_i - x_o)$，粘性阻尼力为 $c\dfrac{d}{dt}(x_i - x_o)$。因此，力平衡方程为：
$$
k(x_i - x_o) = c\dfrac{d}{dt}(x_i - x_o)
$$
步骤 2：进行拉普拉斯变换
对力平衡方程进行拉普拉斯变换，得到：
$$
k(X_i(s) - X_o(s)) = c(sX_i(s) - sX_o(s) - x_i(0) + x_o(0))
$$
由于初始条件为零，即 $x_i(0) = x_o(0) = 0$，因此方程简化为：
$$
k(X_i(s) - X_o(s)) = cs(X_i(s) - X_o(s))
$$
步骤 3：求传递函数
将上式整理为：
$$
X_o(s) = \dfrac{k}{k + cs}X_i(s)
$$
因此，传递函数为：
$$
G(s) = \dfrac{X_o(s)}{X_i(s)} = \dfrac{k}{k + cs}
$$
步骤 4：求单位斜坡响应
单位斜坡输入的拉普拉斯变换为 $\dfrac{1}{s^2}$，因此单位斜坡响应的拉普拉斯变换为：
$$
X_o(s) = G(s) \cdot \dfrac{1}{s^2} = \dfrac{k}{k + cs} \cdot \dfrac{1}{s^2}
$$
步骤 5：求逆拉普拉斯变换
对上式进行逆拉普拉斯变换，得到单位斜坡响应：
$$
x_o(t) = \mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{k}{k + cs} \cdot \dfrac{1}{s^2}\right] = \dfrac{1}{c} - \dfrac{1}{c}e^{-\frac{ct}{k}}
$$