题目
6.12 如题6.12图所示矩形截面梁采用(a)、(b)两种放置方式,从弯曲正应力强度观-|||-点,试计算(b)的承载能力是(a)的多少倍?-|||-q-|||-square -|||-l 20-|||-40-|||-(a) (b)-|||-题6.12图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定梁的截面惯性矩
对于矩形截面，其惯性矩 $I$ 可以通过公式 $I = \frac{bh^3}{12}$ 计算，其中 $b$ 是宽度，$h$ 是高度。
对于(a)放置方式，宽度 $b = 20$，高度 $h = 40$，所以惯性矩 $I_a = \frac{20 \times 40^3}{12}$。
对于(b)放置方式，宽度 $b = 40$，高度 $h = 20$，所以惯性矩 $I_b = \frac{40 \times 20^3}{12}$。
步骤 2：计算两种放置方式的承载能力
梁的弯曲正应力强度由公式 $\sigma = \frac{My}{I}$ 给出，其中 $M$ 是弯矩，$y$ 是截面的中性轴到最远点的距离，$I$ 是截面的惯性矩。
对于(a)放置方式，$y_a = \frac{h}{2} = 20$，所以 $\sigma_a = \frac{M \times 20}{I_a}$。
对于(b)放置方式，$y_b = \frac{h}{2} = 10$，所以 $\sigma_b = \frac{M \times 10}{I_b}$。
由于两种放置方式的材料相同，所以它们的许用应力相同，即 $\sigma_a = \sigma_b$。因此，$\frac{M \times 20}{I_a} = \frac{M \times 10}{I_b}$，从而可以计算出承载能力的倍数。
步骤 3：计算承载能力的倍数
根据步骤 2 的公式，可以得到 $\frac{I_b}{I_a} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$。由于 $I_b = \frac{40 \times 20^3}{12}$，$I_a = \frac{20 \times 40^3}{12}$，所以 $\frac{I_b}{I_a} = \frac{40 \times 20^3}{20 \times 40^3} = \frac{1}{2}$。因此，(b)的承载能力是(a)的2倍。
对于矩形截面，其惯性矩 $I$ 可以通过公式 $I = \frac{bh^3}{12}$ 计算，其中 $b$ 是宽度，$h$ 是高度。
对于(a)放置方式，宽度 $b = 20$，高度 $h = 40$，所以惯性矩 $I_a = \frac{20 \times 40^3}{12}$。
对于(b)放置方式，宽度 $b = 40$，高度 $h = 20$，所以惯性矩 $I_b = \frac{40 \times 20^3}{12}$。
步骤 2：计算两种放置方式的承载能力
梁的弯曲正应力强度由公式 $\sigma = \frac{My}{I}$ 给出，其中 $M$ 是弯矩，$y$ 是截面的中性轴到最远点的距离，$I$ 是截面的惯性矩。
对于(a)放置方式，$y_a = \frac{h}{2} = 20$，所以 $\sigma_a = \frac{M \times 20}{I_a}$。
对于(b)放置方式，$y_b = \frac{h}{2} = 10$，所以 $\sigma_b = \frac{M \times 10}{I_b}$。
由于两种放置方式的材料相同，所以它们的许用应力相同，即 $\sigma_a = \sigma_b$。因此，$\frac{M \times 20}{I_a} = \frac{M \times 10}{I_b}$，从而可以计算出承载能力的倍数。
步骤 3：计算承载能力的倍数
根据步骤 2 的公式，可以得到 $\frac{I_b}{I_a} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$。由于 $I_b = \frac{40 \times 20^3}{12}$，$I_a = \frac{20 \times 40^3}{12}$，所以 $\frac{I_b}{I_a} = \frac{40 \times 20^3}{20 \times 40^3} = \frac{1}{2}$。因此，(b)的承载能力是(a)的2倍。