题目

某汽车总质量 1700 mathrm(Kg)；发动机最大输出转矩为 180 mathrm(Nm)；对应的发动机转速为 2800 mathrm(rpm)；轮胎滚动半径为 365 mathrm(mm)；空气阻力系数为 0.48；迎风面积为 2.8 mathrm(~m)^2；第一档和最高档工作时传动系的总传动比分别为 20.5 和 4.63，相应的传动效率分别为 0.85 和 0.92。若滚动阻力系数为 0.015，试求：（1）该车的最低档的最大动力因数？（2）该车最高档的最大爬坡度？

某汽车总质量 $1700 \mathrm{Kg}$；发动机最大输出转矩为 $180 \mathrm{Nm}$；对应的发动机转速为 $2800 \mathrm{rpm}$；轮胎滚动半径为 $365 \mathrm{mm}$；空气阻力系数为 $0.48$；迎风面积为 $2.8 \mathrm{~m}^2$；第一档和最高档工作时传动系的总传动比分别为 $20.5$ 和 $4.63$，相应的传动效率分别为 $0.85$ 和 $0.92$。若滚动阻力系数为 $0.015$，试求：

（1）该车的最低档的最大动力因数？

（2）该车最高档的最大爬坡度？

题目解答

答案

1. 最低档最大动力因数： \[ F_t = \frac{180 \times 20.5 \times 0.85}{0.365} \approx 8593.15 \, \text{N}, \quad F_f = 1700 \times 9.81 \times 0.015 = 250.155 \, \text{N} \] \[ D = \frac{8593.15 - 250.155}{1700 \times 9.81} \approx 0.500 \] 2. 最高档最大爬坡度： \[ v = \frac{2800 \times 0.365 \times 2\pi}{60 \times 4.63} \approx 23.1 \, \text{m/s}, \quad F_a = \frac{1}{2} \times 0.48 \times 2.8 \times 1.225 \times 533.61 \approx 439.1 \, \text{N} \] \[ F_t = \frac{180 \times 4.63 \times 0.92}{0.365} \approx 2099.8 \, \text{N}, \quad i = \frac{2099.8 - 250.155 - 439.1}{1700 \times 9.81} \approx 8.46\% \] 最终结果： 1. 最低档最大动力因数 $ D \approx 0.500 $。 2. 最高档最大爬坡度 $ i \approx 8.46\% $。

解析

本题主要考查汽车动力学相关知识，包括动力因数和爬坡度的计算。解题的关键在于理解各力的计算公式以及动力因数和爬坡度的定义，并根据题目所给条件逐步计算。

（1）求该车的最低档的最大动力因数

  • 步骤一：计算最低档时发动机传递到车轮上的驱动力 $F_t$
    根据公式 $F_t=\frac{T_{emax}i_{g1}\eta_{t1}}{r}$，其中 $T_{emax}$ 是发动机最大输出转矩，$i_{g1}$ 是第一档传动比，$\eta_{t1}$ 是第一档传动效率，$r$ 是轮胎滚动半径。
    已知 $T_{emax} = 180\mathrm{Nm}$，$i_{g1}=20.5$，$\eta_{t1}=0.85$，$r = 365\mathrm{mm}=0.365\mathrm{m}$，代入可得：
    $F_t=\frac{180\times20.5\times0.85}{0.365}$
    $=\frac{180\times17.425}{0.365}$
    $=\frac{3136.5}{0.365}\approx8593.15\mathrm{N}$
  • 步骤二：计算滚动阻力 $F_f$
    根据公式 $F_f = Gf$，其中 $G = mg$ 是汽车重力，$m$ 是汽车总质量，$g$ 是重力加速度（取 $g = 9.81\mathrm{m/s^2}$），$f$ 是滚动阻力系数。
    已知 $m = 1700\mathrm{kg}$，$f = 0.015$，则 $G=1700\times9.81 = 16677\mathrm{N}$，所以 $F_f = 1700\times9.81\times0.015=250.155\mathrm{N}$
  • 步骤三：计算最低档的最大动力因数 $D$
    根据动力因数的定义 $D=\frac{F_t - F_f}{G}$，将 $F_t$、$F_f$ 和 $G$ 的值代入可得：
    $D=\frac{8593.15 - 250.155}{1700\times9.81}$
    $=\frac{8342.995}{16677}\approx0.500$

（2）求该车最高档的最大爬坡度

  • 步骤一：计算最高档时汽车的行驶速度 $v$
    根据公式 $v=\frac{0.377r n}{i_{gmax}}$，其中 $n$ 是发动机转速，$i_{gmax}$ 是最高档传动比。
    已知 $n = 2800\mathrm{rpm}$，$r = 0.365\mathrm{m}$，$i_{gmax}=4.63$，代入可得：
    $v=\frac{0.377\times0.365\times2800}{4.63}$
    $=\frac{0.377\times1022}{4.63}$
    $=\frac{385.394}{4.63}\approx83.24\mathrm{km/h}$
    将其换算为 $\mathrm{m/s}$，$v = 83.24\times\frac{1000}{3600}\approx23.1\mathrm{m/s}$
  • 步骤二：计算空气阻力 $F_a$
    根据公式 $F_a=\frac{1}{2}C_DA\rho v^2$，其中 $C_D$ 是空气阻力系数，$A$ 是迎风面积，$\rho$ 是空气密度（取 $\rho = 1.225\mathrm{kg/m^3}$），$v$ 是汽车行驶速度。
    已知 $C_D = 0.48$，$A = 2.8\mathrm{m^2}$，$v = 23.1\mathrm{m/s}$，代入可得：
    $F_a=\frac{1}{2}\times0.48\times2.8\times1.225\times23.1^2$
    $=0.24\times2.8\times1.225\times533.61$
    $=0.672\times1.225\times533.61$
    $=0.8226\times533.61\approx439.1\mathrm{N}$
  • 步骤三：计算最高档时发动机传递到车轮上的驱动力 $F_t$
    根据公式 $F_t=\frac{T_{emax}i_{gmax}\eta_{tmax}}{r}$，其中 $\eta_{tmax}$ 是最高档传动效率。
    已知 $T_{emax} = 180\mathrm{Nm}$，$i_{gmax}=4.63$，$\eta_{tmax}=0.92$，$r = 0.365\mathrm{m}$，代入可得：
    $F_t=\frac{180\times4.63\times0.92}{0.365}$
    $=\frac{180\times4.2596}{0.365}$
    $=\frac{766.728}{0.365}\approx2099.8\mathrm{N}$
  • 步骤四：计算最高档的最大爬坡度 $i$
    根据爬坡度的计算公式 $i=\frac{F_t - F_f - F_a}{G}$，将 $F_t$、$F_f$、$F_a$ 和 $G$ 的值代入可得：
    $i=\frac{2099.8 - 250.155 - 439.1}{1700\times9.81}$
    $=\frac{1410.545}{16677}\approx0.0846 = 8.46\%$