2.14 写出 Li^(2+) 离子的Schrodinger方程,说明该方程中各符号及各项的意义;写出 ^2+ 离-|||-子1s态的波函数并计算:-|||-(1)1s电子径向分布最大值离核的距离;-|||-(2)1s电子离核的平均距离;-|||-(3)1s电子概率密度最大处离核距离;-|||-(4)比较 ^2+ 离子的2s和2p态能量的高低;-|||-(5)Li原子的第一电离能(按Slater屏蔽常数算有效核电荷),
题目解答
答案
解析
题目考察内容
本题综合考查了氢原子及类氢离子的薛定谔方程、波函数、径向分布、电子离核平均距离、概率密度密度及多电子原子的电离能计算等知识点，具体涉及：
- 薛定谔方程的书写及符号意义；
- 类氢离子1s态波函数；
- 径向分布最大值距离；4. 电子离核平均距离；5. 概率密度最大位置；6. 单电子态能量高低；7. 用Slater规则计算电离能。
详细解析
1. Li²⁺离子的薛定谔方程及符号意义
薛定谔方程：
$\left( -\frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2 - \frac{Z e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \right) \psi = E \psi
\quad (\text{注：原题中}\mu\text{应为约化质量，}\hbar=\frac{h}{2\pi}\text{为约化普朗克常数})$
符号意义：
- $\mu$：电子与核的约化质量；
- $r$：电子到核的距离；- $\nabla^2$：拉普拉斯算符（表示动能）；- $\psi$：状态波函数；- $E$：体系总能量；- $Z=3$（Li²⁺核电荷数）；- $e$：电子电荷；- $\varepsilon_0$：真空电容率；- 方括号内为哈密顿算符（总能量算符），第一项为动能算符，第二项为势能算符（库仑吸引能）。
2. Li²⁺离子1s态波函数
类氢离子1s波函数通式：
$\psi_{1s} = \sqrt{\frac{Z^3}{\pi a_0^3}} e^{-Zr/a_0}}$
对$Li^{2+}(Z=3)$：
$\psi_{1s} = \sqrt{\frac{27}{\pi a_0^3}} e^{-3r/a_0}$
3. 1s电子径向分布最大值离核距离
径向分布函数$D(r) = 4\pi r^2 |\psi|^2$，代入1s波函数：
$\[
D(r) = 4\pi r^2 \cdot \frac{27}{\pi a_0^3} e^{-6r/a_0} = \frac{108}{a_0^3} r^2 e^{-6r/a_0}$
令$\frac{dD}{dr}=0$，求极值：
$\frac{dD}{dr} = \frac{108}{a_0^3} \left( 2r e^{-6r/a_0} - \frac{6r^2}{a_0} e^{-6r/a_0} \right) = 0$
化简得$2r - \frac{6r^2}{a_0}=0$，解得$r=\frac{a_0}{3}$（$r=0$
答案：$\frac{a_0}{3}$**
4. 1s电子离核的平均距离
电子离核平均距离$\langle r \rangle = \int_0^\infty r |\psi|^2 4\pi r^2 dr$：
$\langle r \rangle = \int_0^\infty r \cdot \frac{27}{\pi a_0^3} e^{-6r/a_0}} \cdot 4\pi r^2 dr = \frac{108}{a_0^3} \int_0^\infty r^3 e^{-6r/a_0} dr
\积分公式$\int_0^\infty r^n e^{-ar}dr=\frac{n!}{a^{n+1}}$（$n=3,a=6/a_0$）：
\[
\langle r \rangle = \frac{108}{a_0^3} \cdot \frac{6}{(6/a_0)^4} = \frac{108 \cdot 6}{a_0^3 \cdot 1296/a a_0]^4} = \frac{a_0}{2}$
答案：$\frac{a_0}{2}$
5. 1s电子概率密度最大处离核距离
概率密度$|\psi|^2 = \frac{27}{\pi a_0^3} e^{-6r/a_0}$，指数项$e^{-6r/a_0}$随$r增大单调递减，故\(r=0$时$|\psi|^2$最大。但电子不能无限接近核，严格说，概率密度最大值在$r \to 0$处。
答案：$r \to 0\}\}$
6. Li²⁺离子2s和2p态能量高低
Li²⁺为单电子体系，能量仅与主量子数$n$有关：$E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} eV$。2s和2p态$n=2$相同，故能量简并$E_{2s}=E_{2p}$。
答案：相等
7. Li原子的第一电离能（Slater规则）
Li基组态$(1s^22s^1$。对2s电子，Slater屏蔽常数$\sigma$：
- 同组（2s）电子：0；
- 相邻内组（1s）电子：每个屏蔽1.00（Li的1s电子对2个，$\sigma=2 \times 0.85=1.70$？原题答案用$0.85$，按原题：$\sigma=0.85 \times 2=1.7$？
有效核电荷$Z^*=Z - \sigma=3 - 1.7=1.3$？原题答案：$3 - 0.85 \times 2=1.3$，则：
$E_{2s}=-13.6 \frac{(1.3)^2}{2^2}=-13.6 \times \frac{1.69}{4} \approx -5.75\ \, \text{eV}$
按Koopmann定理，第一电离能$I_1=-E_{2s}=5.75 \, \text{eV}$。
答案：5.75 eV