题目
证明理想密排六方晶胞中的轴比c/a=1.633。
证明理想密排六方晶胞中的轴比c/a=1.633。
题目解答
答案
理想密排六方晶格配位数为12，即晶胞上底面中心原子与其下面的3个位于晶胞内的原子相切，将各原子中心相连接形成一个正四面体，如图所示：
解析
步骤 1：理解密排六方晶胞结构
密排六方晶胞是一种晶体结构，其中原子在晶胞的上底面中心和下面的3个位于晶胞内的原子相切，形成一个正四面体。我们需要计算这个正四面体的高，以确定轴比c/a。
步骤 2：计算正四面体的高
在正四面体中，设边长为a，高为h。根据几何关系，可以得到：
$OC = \frac{2}{3}CE$
$CE = \sqrt{BC^2 - BE^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}a^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$
$OC = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{3}a$
$OD = \sqrt{CD^2 - OC^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{1}{3}a^2} = \sqrt{\frac{2}{3}a^2} = \frac{\sqrt{6}}{3}a$
$h = 2OD = 2 \times \frac{\sqrt{6}}{3}a = \frac{2\sqrt{6}}{3}a$
步骤 3：计算轴比c/a
轴比c/a即为正四面体的高h与边长a的比值，即：
$c/a = \frac{2\sqrt{6}}{3} \approx 1.633$
密排六方晶胞是一种晶体结构，其中原子在晶胞的上底面中心和下面的3个位于晶胞内的原子相切，形成一个正四面体。我们需要计算这个正四面体的高，以确定轴比c/a。
步骤 2：计算正四面体的高
在正四面体中，设边长为a，高为h。根据几何关系，可以得到：
$OC = \frac{2}{3}CE$
$CE = \sqrt{BC^2 - BE^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}a^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$
$OC = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{3}a$
$OD = \sqrt{CD^2 - OC^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{1}{3}a^2} = \sqrt{\frac{2}{3}a^2} = \frac{\sqrt{6}}{3}a$
$h = 2OD = 2 \times \frac{\sqrt{6}}{3}a = \frac{2\sqrt{6}}{3}a$
步骤 3：计算轴比c/a
轴比c/a即为正四面体的高h与边长a的比值，即：
$c/a = \frac{2\sqrt{6}}{3} \approx 1.633$