8-29 现考虑组成蛋的卵白蛋白的热变作用。在与海平面同一水平处煮蛋需10min,而在2.213km-|||-山顶上沸水中煮蛋需要17 min。设空气平均摩尔质量为 .8times (10)^-3kgcdot (mol)^-1 ,空气压力服从公式 p=-|||-_(0)etimes p(dfrac (-overline {Mg)h}(RT)) ,气体从海平面到山顶均为293.3K,水的正常蒸发热为 .278kJcdot (g)^-1 ,求卵白蛋白热变反-|||-应的活化能。
题目解答
答案
解析
本题是物理化学中综合动力学与热力学的题目，核心是通过不同海拔下水的沸点变化，结合阿伦尼乌斯公式和克劳修斯-克拉佩龙方程计算反应活化能，具体步骤如下：
步骤1：明确关键公式与变量
① 阿伦尼乌斯公式（反应速率与温度关系）
反应速率常数 $k$ 与温度 $T$ 的关系为：
$\ln\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)$
其中，$E_a$ 为活化能，$R$ 为气体常数（$8.314\ \text{J·mol}^{-1}\text{·K}^{-1}$）。
等价转化：反应时间与速率成反比，即 $\frac{t_1}{t_2} = \frac{k_2}{k_1}$，代入得：
$\ln\left(\frac{t_1}{t_2}\right) = \frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}\right) \quad (1)$
② 克劳修斯-克拉佩龙方程（蒸气压与温度关系）
水的蒸气压 $p$ 与沸点 $T$ 的关系：
$\ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right) = \frac{\Delta H_{\text{蒸}}}{R}\left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)$
其中，$\Delta H_{\text{蒸}}$ 为摩尔蒸发热，$p_1 = p_0$（海平面大气压，$101.3\ \text{kPa}$），$p_2$ 为山顶大气压（通过 barometric formula 计算）。
③ 气压公式（barometric formula）
山顶气压 $p_2$：
$p_2 = p_0 \exp\left(-\frac{\overline{M}gh}{RT}\right)$
取对数得：
$\ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right) = -\frac{\overline{M}gh}{RT} \quad (2)$
步骤2：计算山顶水的沸点 $T_2$
联立克劳修斯-克拉佩龙方程与气压公式：
由式(2)代入蒸气压方程：
$-\frac{\overline{M}gh}{RT} = \frac{\Delta H_{\text{蒸}}}{R}\left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)$
消去 $R$，整理得：
$\frac{1}{T_2} = \frac{1}{T_1} - \frac{\overline{M}gh}{\Delta H_{\text{蒸}}T} \quad (3)$
代入数据计算 $T_2$
- $\overline{M} = 28.8\times10^{-3}\ \text{kg·mol}^{-1}$，$g = 9.8\ \text{m·s}^{-2}$，$h = 2213\ \text{m}$
- $\Delta H_{\text{蒸}} = 2.278\ \text{kJ·g}^{-1} = 2278\ \text{kJ·kg}^{-1} = 40.90\ \text{kJ·mol}^{-1}$（水摩尔质量18g/mol）
- $T = 293.3\ \text{K}$，$T_1 = 373.15\ \text{K}$（海平面沸点，100℃）
$\frac{\overline{M}gh}{\Delta H_{\text{蒸}}T} = \frac{28.8\times10^{-3}\times9.8\times2213}{40900\times293.3} \approx 4.81\times10^{-5}\ \text{K}^{-1}$
$\frac{1}{T_2} = \frac{1}{373.15} - 4.81\times10^{-5} \approx 2.626\times10^{-3}\ \text{K}^{-1}$
$T_2 \approx 380.8\ \text{K}$
步骤3：计算活化能 $E_a$
利用式(1)，已知 $t_1=10\ \text{min}$（$T_1=373.15\ \text{K}$），$t_2=17\ \text{min}$（$T_2=380.8\ \text{K}$）：
$\ln\left(\frac{10}{17}\right) = \frac{E_a}{8.314}\left(\frac{1}{380.8} - \frac{1}{373.15}\right)$
$\ln(0.588) \approx -0.530 = \frac{E_a}{8.314}\left(-5.33\times10^{-5}\right)$
$E_a = \frac{-0.530 \times 8.314}{-5.33\times10^{-5}} \approx 86000\ \text{J·mol}^{-1} = 86\ \text{kJ·mol}^{-1}$