题目

直径 d=25mm 的钢圆杆,受轴向拉力60kN作用时,在标距为200mm的长度内伸长了-|||-0.113mm。当其承受一对扭转外力偶矩 _(e)=0.2kNcdot m 时,在标距为200 mm的长度内相对扭转了-|||-0.732°的角度。试求钢材的弹性常数E,G和v。

题目解答

答案

解析

本题考查材料力学中弹性常数的计算，涉及轴向拉伸和扭转的变形公式，以及弹性模量$E$、剪切模量$G$和泊松比$v$之间的关系。核心思路是：

  1. 利用轴向拉伸的伸长量计算弹性模量$E$；
  2. 利用扭转的相对扭转角计算剪切模量$G$；
  3. 通过弹性常数关系式$G = \dfrac{E}{2(1+v)}$求解泊松比$v$。

关键点：

  • 正确应用拉伸和扭转的变形公式；
  • 注意单位统一（如力、长度的单位转换）；
  • 扭转公式中角度需通过$57.3$转换为弧度相关计算。

1. 计算弹性模量$E$

根据轴向拉伸公式：
$\Delta l = \dfrac{F \cdot l}{E \cdot A} \implies E = \dfrac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$
其中：

  • 横截面积$A = \dfrac{\pi d^2}{4} = \dfrac{\pi \times 25^2}{4} \approx 490.87 \, \text{mm}^2$；
  • 代入数据：$F = 60 \, \text{kN} = 60 \times 10^3 \, \text{N}$，$l = 200 \, \text{mm}$，$\Delta l = 0.113 \, \text{mm}$；
  • 计算得：
    $E = \dfrac{60 \times 10^3 \times 200}{490.87 \times 0.113} \approx 216 \, \text{GPa}.$

2. 计算剪切模量$G$

根据扭转公式（含角度转换）：
$\varphi' \, (\text{度}) = \dfrac{T \cdot l \cdot 57.3}{G \cdot I_p} \implies G = \dfrac{T \cdot l \cdot 57.3}{\varphi' \cdot I_p}$
其中：

  • 极惯性矩$I_p = \dfrac{\pi d^4}{32} = \dfrac{\pi \times 25^4}{32} \approx 38274.4 \, \text{mm}^4$；
  • 代入数据：$T = 0.2 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 200 \, \text{N} \cdot \text{m} = 200 \times 10^3 \, \text{N} \cdot \text{mm}$，$l = 200 \, \text{mm}$，$\varphi' = 0.732 \, \text{度}$；
  • 计算得：
    $G = \dfrac{200 \times 10^3 \times 200 \times 57.3}{0.732 \times 38274.4} \approx 81.8 \, \text{GPa}.$

3. 计算泊松比$v$

利用关系式$G = \dfrac{E}{2(1+v)}$：
$81.8 \times 10^9 = \dfrac{216 \times 10^9}{2(1+v)} \implies 1+v = \dfrac{216}{2 \times 81.8} \implies v \approx 0.320.$