题目
图 2-19 为一变截面圆杆ABCD.已知 _(1)=20kN _(2)=35kN _(3)=35kN _(1)=(l)_(3)=-|||-300mm,l _(2)=400mm _(1)=12mm _(2)=16mm _(3)=24m 试求:-|||-(1) -I -11 Ⅲ-Ⅲ截面的轴力并作轴力图。-|||-(2)杆的最大正应力0max o-|||-(3)B截面的位移及AD杆的变形。-|||-Ⅲ Ⅱ-|||-F F F1-|||-A-|||-D Ⅲ C Ⅱ B I-|||-l3 l2 l1-|||-图 2-19
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算支座反力
根据平衡条件，计算支座D的反力 ${F}_{{R}_{D}}$。由于杆件在D点受到的力为 ${F}_{3}$ 和 ${F}_{{R}_{D}}$，且 ${F}_{3} = 35kN$，则 ${F}_{{R}_{D}} = -50kN$。
步骤 2：计算各截面的轴力
- I-I 截面：根据平衡条件，${F}_{1} - {F}_{{N}_{1}} = 0$，则 ${F}_{{N}_{1}} = 20kN$。
- II-II 截面：根据平衡条件，${F}_{1} - {F}_{2} - {F}_{{N}_{2}} = 0$，则 ${F}_{{N}_{2}} = -15kN$。
- Ⅲ-Ⅲ截面：根据平衡条件，${F}_{{N}_{3}} - {F}_{{R}_{D}} = 0$，则 ${F}_{{N}_{3}} = -50kN$。
步骤 3：绘制轴力图
根据计算结果，绘制轴力图，显示各截面的轴力变化。
步骤 4：计算杆的最大正应力
- AB段：${\sigma}_{AB} = \dfrac{{F}_{{N}_{1}}}{{A}_{1}} = 176.8MPa$。
- BC段：${\sigma}_{BC} = \dfrac{{F}_{{N}_{2}}}{{A}_{2}} = 74.6MPa$。
- DC段：${\sigma}_{DC} = \dfrac{{F}_{{N}_{3}}}{{A}_{3}} = 110.5MPa$。
最大正应力为 ${\sigma}_{max} = 176.8MPa$，发生在AB段。
步骤 5：计算B截面的位移及AD杆的变形
- AB段变形：$\Delta{l}_{AB} = \dfrac{{F}_{{N}_{1}}{l}_{1}}{E{A}_{1}} = 2.53\times{10}^{-4}m$。
- BC段变形：$\Delta{l}_{BC} = \dfrac{{F}_{{N}_{2}}{l}_{2}}{E{A}_{2}} = -1.42\times{10}^{-4}m$。
- CD段变形：$\Delta{l}_{CD} = \dfrac{{F}_{{N}_{3}}{l}_{3}}{E{A}_{3}} = -1.58\times{10}^{-4}m$。
B截面的位移：$\Delta{B} = \Delta{l}_{CD} + \Delta{l}_{BC} = -0.3mm$。
AD杆的变形：$\Delta{AD} = \Delta{l}_{AB} + \Delta{l}_{BC} + \Delta{l}_{CD} = -0.47\times{10}^{-4}m$。
根据平衡条件，计算支座D的反力 ${F}_{{R}_{D}}$。由于杆件在D点受到的力为 ${F}_{3}$ 和 ${F}_{{R}_{D}}$，且 ${F}_{3} = 35kN$，则 ${F}_{{R}_{D}} = -50kN$。
步骤 2：计算各截面的轴力
- I-I 截面：根据平衡条件，${F}_{1} - {F}_{{N}_{1}} = 0$，则 ${F}_{{N}_{1}} = 20kN$。
- II-II 截面：根据平衡条件，${F}_{1} - {F}_{2} - {F}_{{N}_{2}} = 0$，则 ${F}_{{N}_{2}} = -15kN$。
- Ⅲ-Ⅲ截面：根据平衡条件，${F}_{{N}_{3}} - {F}_{{R}_{D}} = 0$，则 ${F}_{{N}_{3}} = -50kN$。
步骤 3：绘制轴力图
根据计算结果，绘制轴力图，显示各截面的轴力变化。
步骤 4：计算杆的最大正应力
- AB段：${\sigma}_{AB} = \dfrac{{F}_{{N}_{1}}}{{A}_{1}} = 176.8MPa$。
- BC段：${\sigma}_{BC} = \dfrac{{F}_{{N}_{2}}}{{A}_{2}} = 74.6MPa$。
- DC段：${\sigma}_{DC} = \dfrac{{F}_{{N}_{3}}}{{A}_{3}} = 110.5MPa$。
最大正应力为 ${\sigma}_{max} = 176.8MPa$，发生在AB段。
步骤 5：计算B截面的位移及AD杆的变形
- AB段变形：$\Delta{l}_{AB} = \dfrac{{F}_{{N}_{1}}{l}_{1}}{E{A}_{1}} = 2.53\times{10}^{-4}m$。
- BC段变形：$\Delta{l}_{BC} = \dfrac{{F}_{{N}_{2}}{l}_{2}}{E{A}_{2}} = -1.42\times{10}^{-4}m$。
- CD段变形：$\Delta{l}_{CD} = \dfrac{{F}_{{N}_{3}}{l}_{3}}{E{A}_{3}} = -1.58\times{10}^{-4}m$。
B截面的位移：$\Delta{B} = \Delta{l}_{CD} + \Delta{l}_{BC} = -0.3mm$。
AD杆的变形：$\Delta{AD} = \Delta{l}_{AB} + \Delta{l}_{BC} + \Delta{l}_{CD} = -0.47\times{10}^{-4}m$。