坐标系 , 和 分别与齿条刀具、被加工的直齿外齿轮和机架刚性固接(图2)。齿条刀具的齿形是直线,该直线用方程 ( )表示在 中。这里,a 是齿形角(压力角);u 是变参数,该参数用来确定齿条刀具齿形上的流动点位置(对于点M, ;对于点,)。瞬时回转中心为 。齿轮的瞬心线是半径为r的圆,而齿条刀具的瞬心线与 轴重合(图3.2)。齿条刀具的位移 和齿轮的转角 有如下关系式图3.2求: 1)推导啮合方程。2)导出齿条刀具和被加工齿轮在啮合中的啮合线方程。3)导出被加工齿轮的齿形方程。4)确定齿条刀具的极限安装位置,这种安装位置将使齿轮的被加工齿形避免根切,并作图说明。

解:1) 我们考察方程

这里,是表示在中的I的坐标。

式中和是产生齿形的切线矢量和法线矢量,是轴的单位矢量。

从上述三个方程可以导出啮合方程的下列表达式

2) 啮合线可以用下面的方程表示:

这样子,我们得到

从而可以导出

啮合线(图3.3)是通过I的一条直线,并且与轴构成夹角。线段上各个点对应于;线段上的各个点对应于。

图3.3 啮合线

3) 被加工齿轮的齿形用下列方程表示

(1)

(2)

式中 (3)

这里,矩阵方程(1)描述从到的坐标变换;方程(2)是啮合方程。

方程(1)~(3)可以导出被加工齿轮齿形的下列表达式:

(4)

方程(4)用有联系的参数和以双参数形式表示被加工齿形(它是平面曲线)。然而,在这种特殊情况下,因为啮合方程对参数是线性的,所以能够从方程(4)中消去,并且以单参数形式将被加工齿形表示如下:

(5)

方程(5)表示一条渐开线,它对应半径为的基圆。

4) 齿条刀具齿形的界限点是这样的点,它在齿轮的齿形上形成奇异点。齿条刀具的界限点可以用啮合方程和根切方程确定,后一方程可以用下面的方程求出

联系和

式中

可以导出

这样,我们得到的界限值为,进而我们得到

考虑到啮合方程,我们得到与由方程给出的相同的界限值。图3.4图解说明了齿条刀具的极限安装位置,此时点F形成齿轮齿形上的奇异点。点F的参数是负的,并由方程确定。

图3.4 齿条刀具的极限安装位置