题目
例8.9图示单元体,试求:-|||-(1)指定斜截面上的应力;-|||-(2)主应力大小,并将主平面标在单元体图上。-|||-200MPa-|||-300MPa-|||-200MPa-|||-30°-|||-例8.9图
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算斜截面上的正应力
根据平面应力状态斜截面应力的公式，计算指定斜截面上的正应力 ${\sigma}_{a}$。公式为：
${\sigma}_{a} = \dfrac{{\sigma}_{x} + {\sigma}_{y}}{2} + \dfrac{{\sigma}_{x} - {\sigma}_{y}}{2} \cos 2\alpha - \tau_{xy} \sin 2\alpha$
其中，${\sigma}_{x} = 200MPa$，${\sigma}_{y} = -200MPa$，$\tau_{xy} = 300MPa$，$\alpha = 30°$。
步骤 2：计算斜截面上的剪应力
根据平面应力状态斜截面应力的公式，计算指定斜截面上的剪应力 ${\tau}_{a}$。公式为：
${\tau}_{a} = \dfrac{{\sigma}_{x} - {\sigma}_{y}}{2} \sin 2\alpha + \tau_{xy} \cos 2\alpha$
步骤 3：计算主应力
根据主应力的计算公式，计算主应力 ${\sigma}_{1}$ 和 ${\sigma}_{3}$。公式为：
${\sigma}_{1,3} = \dfrac{{\sigma}_{x} + {\sigma}_{y}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{{\sigma}_{x} - {\sigma}_{y}}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$
步骤 4：计算主平面方向
根据主平面方向的计算公式，计算主平面方向 ${\theta}_{3}$。公式为：
${\theta}_{3} = \dfrac{1}{2} \arctan\left(\dfrac{2\tau_{xy}}{{\sigma}_{x} - {\sigma}_{y}}\right)$
根据平面应力状态斜截面应力的公式，计算指定斜截面上的正应力 ${\sigma}_{a}$。公式为：
${\sigma}_{a} = \dfrac{{\sigma}_{x} + {\sigma}_{y}}{2} + \dfrac{{\sigma}_{x} - {\sigma}_{y}}{2} \cos 2\alpha - \tau_{xy} \sin 2\alpha$
其中，${\sigma}_{x} = 200MPa$，${\sigma}_{y} = -200MPa$，$\tau_{xy} = 300MPa$，$\alpha = 30°$。
步骤 2：计算斜截面上的剪应力
根据平面应力状态斜截面应力的公式，计算指定斜截面上的剪应力 ${\tau}_{a}$。公式为：
${\tau}_{a} = \dfrac{{\sigma}_{x} - {\sigma}_{y}}{2} \sin 2\alpha + \tau_{xy} \cos 2\alpha$
步骤 3：计算主应力
根据主应力的计算公式，计算主应力 ${\sigma}_{1}$ 和 ${\sigma}_{3}$。公式为：
${\sigma}_{1,3} = \dfrac{{\sigma}_{x} + {\sigma}_{y}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{{\sigma}_{x} - {\sigma}_{y}}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$
步骤 4：计算主平面方向
根据主平面方向的计算公式，计算主平面方向 ${\theta}_{3}$。公式为：
${\theta}_{3} = \dfrac{1}{2} \arctan\left(\dfrac{2\tau_{xy}}{{\sigma}_{x} - {\sigma}_{y}}\right)$