[题目]用HMO法求丙二烯双自由基 HC=C=CH 的π-|||-型分子轨道及相应的能量,并计算π键键级。

步骤 1：建立HMO模型
丙二烯双自由基 HC=C=CH 中有3个碳原子，每个碳原子提供一个π电子，因此总共有3个π电子。根据HMO法，我们首先建立一个简化的久期方程，其中a代表碳原子的π轨道能量，β代表相邻碳原子π轨道之间的相互作用能。

步骤 2：写出久期方程
根据HMO法，久期方程可以表示为：
\[
\begin{vmatrix}
a-E & \beta & 0 \\
\beta & a-E & \beta \\
0 & \beta & a-E
\end{vmatrix} = 0
\]
其中E是分子轨道的能量。

步骤 3：求解久期方程
解上述行列式，得到能量E的方程：
\[
(a-E)^3 - 2\beta^2(a-E) = 0
\]
化简得：
\[
(a-E)[(a-E)^2 - 2\beta^2] = 0
\]
解得：
\[
E_1 = a, \quad E_2 = a - \sqrt{2}\beta, \quad E_3 = a + \sqrt{2}\beta
\]
步骤 4：求解分子轨道
根据能量E的值，可以求出分子轨道的组合系数。对于E1，分子轨道为：
\[
\psi_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)
\]
对于E2，分子轨道为：
\[
\psi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 0, -1)
\]
对于E3，分子轨道为：
\[
\psi_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1, -2, 1)
\]
步骤 5：计算π键键级
π键键级的计算公式为：
\[
P_{ij} = 2|\psi_i^2 + \psi_j^2|
\]
对于HC=C=CH，C1-C2和C2-C3的π键键级为：
\[
P_{12} = P_{23} = \sqrt{2}
\]