题目

DA450-121裂解气离心压缩机，第一级叶轮外径D_(2)=655(mm)，叶片出口安装角beta_(2A)=35^circ，出口叶片数Z_(2)=22，出口绝对速度C_(2infty)=200(m/s)，气流方向角alpha_(2)=21.1^circ，叶轮工作转速n=8400(r/min)，试求：(1) 叶轮出口速度w_(2)，c_(2u)，c_(2r)。(2) 叶轮对每千克气体所做的理论功H_(th)(alpha_(1)=90^circ)。(3) 若取beta_(1)+beta_(df)=0.03，叶轮对每千克气体的总耗功H_(tot)。

DA450-121裂解气离心压缩机，第一级叶轮外径$D_{2}=655\text{mm}$，叶片出口安装角$\beta_{2A}=35^{\circ}$，出口叶片数$Z_{2}=22$，出口绝对速度$C_{2\infty}=200\text{m/s}$，气流方向角$\alpha_{2}=21.1^{\circ}$，叶轮工作转速$n=8400\text{r/min}$，试求： (1) 叶轮出口速度$w_{2}$，$c_{2u}$，$c_{2r}$。 (2) 叶轮对每千克气体所做的理论功$H_{th}(\alpha_{1}=90^{\circ})$。 (3) 若取$\beta_{1}+\beta_{df}=0.03$，叶轮对每千克气体的总耗功$H_{tot}$。

题目解答

答案

1. 根据 $ u_2 = \pi D_2 n / 60 = 288.1 \, \text{m/s} $，$ c_{2u} = 200 \cos 21.1^\circ = 186.4 \, \text{m/s} $，$ c_{2r} = 200 \sin 21.1^\circ = 72.2 \, \text{m/s} $。 相对速度 $ w_2 = \sqrt{(u_2 - c_{2u})^2 + c_{2r}^2} = \sqrt{101.7^2 + 72.2^2} \approx 124.7 \, \text{m/s} $。 2. 理论功 $ H_{th} = u_2 c_{2u} = 288.1 \times 186.4 \approx 53.7 \, \text{kJ/kg} $。 3. 总耗功 $ H_{tan} = \frac{H_{th}}{1 - (\beta_1 + \beta_{df})} = \frac{53.7}{0.97} \approx 55.4 \, \text{kJ/kg} $。 最终结果： 1. $ w_2 \approx 124.7 \, \text{m/s} $，$ c_{2u} = 186.4 \, \text{m/s} $，$ c_{2r} = 72.2 \, \text{m/s} $。 2. $ H_{th} \approx 53.7 \, \text{kJ/kg} $。 3. $ H_{tan} \approx 55.4 \, \text{kJ/kg} $。

解析

本题主要考察裂解气离心压缩机叶轮出口速度、理论功以及总耗功的计算，解题思路如下：

  1. 计算叶轮出口圆周速度 $u_2$、绝对速度的圆周分速度 $c_{2u}$ 和径向分速度 $c_{2r}$
    • 首先根据叶轮外径 $D_2$ 和工作转速 $n$，利用公式 $u_2=\frac{\pi D_2 n}{60}$ 计算叶轮出口圆周速度 $u_2$。
    • 已知出口绝对速度 $C_{2\infty}$ 和气流方向角 $\alpha_{2}$，根据三角函数关系，绝对速度的圆周分速度 $c_{2u}=C_{2\infty}\cos\alpha_{2}$，径向分速度 $c_{2r}=C_{2\infty}\sin\alpha_{2}$。
    • 最后根据速度三角形关系，相对速度 $w_2 = \sqrt{(u_2 - c_{2u})^2 + c_{2r}^2}$。
  2. 计算叶轮对每千克气体所做的理论功 $H_{th}$
    • 当 $\alpha_{1}=90^{\circ}$ 时，根据欧拉方程，叶轮对每千克气体所做的理论功 $H_{th}=u_2 c_{2u}$。
  3. 计算叶轮对每千克气体的总耗功 $H_{tot}$
    • 已知 $\beta_{1}+\beta_{df}=0.03$，根据总耗功与理论功的关系 $H_{tot}=\frac{H_{th}}{1 - (\beta_1 + \beta_{df})}$ 计算总耗功。

下面进行详细计算：

  1. 计算叶轮出口速度 $w_2$，$c_{2u}$，$c_{2r}$
    • 计算叶轮出口圆周速度 $u_2$：
      已知 $D_{2}=655\text{mm}=0.655\text{m}$，$n = 8400\text{r/min}$，代入公式 $u_2=\frac{\pi D_2 n}{60}$ 可得：
      $\begin{align*}u_2&=\frac{\pi\times0.655\times8400}{60}\\&=\frac{5509.2}{60}\\&\approx288.1\text{ m/s}\end{align*}$
    • 计算绝对速度的圆周分速度 $c_{2u}$ 和径向分速度 $c_{2r}$：
      已知 $C_{2\infty}=200\text{m/s}$，$\alpha_{2}=21.1^{\circ}$，则：
      $c_{2u}=C_{2\infty}\cos\alpha_{2}=200\times\cos21.1^{\circ}\approx200\times0.932 = 186.4\text{ m/s}$
      $c_{2r}=C_{2\infty}\sin\alpha_{2}=200\times\sin21.1^{\circ}\approx200\times0.361 = 72.2\text{ m/s}$
    • 计算相对速度 $w_2$：
      将 $u_2 = 288.1\text{ m/s}$，$c_{2u}=186.4\text{ m/s}$，$c_{2r}=72.2\text{ m/s}$ 代入公式 $w_2 = \sqrt{(u_2 - c_{2u})^2 + c_{2r}^2}$ 可得：
      $\begin{align*}w_2&=\sqrt{(288.1 - 186.4)^2 + 72.2^2}\\&=\sqrt{101.7^2 + 72.2^2}\\&=\sqrt{10342.89 + 5212.84}\\&=\sqrt{15555.73}\\&\approx124.7\text{ m/s}\end{align*}$
  2. 计算叶轮对每千克气体所做的理论功 $H_{th}$
    将 $u_2 = 288.1\text{ m/s}$，$c_{2u}=186.4\text{ m/s}$ 代入公式 $H_{th}=u_2 c_{2u}$ 可得：
    $\begin{align*}H_{th}&=288.1\times186.4\\&=53701.84\text{ J/kg}\\&=53.7\text{ kJ/kg}\end{align*}$
  3. 计算叶轮对每千克气体的总耗功 $H_{tot}$
    已知 $\beta_{1}+\beta_{df}=0.03$，将 $H_{th}=53.7\text{ kJ/kg}$ 代入公式 $H_{tot}=\frac{H_{th}}{1 - (\beta_1 + \beta_{df})}$ 可得：
    $\begin{align*}H_{tot}&=\frac{53.7}{1 - 0.03}\\&=\frac{53.7}{0.97}\\&\approx55.4\text{ kJ/kg}\end{align*}$