题目

设向量组 α1 =（1，1，1，3）T， α2 =（-1，-3，5，1）T， α3 =（3，2，-1，p+2）T， α4 =（-2，-6，10，p）T． （1）p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量 α =（4，1，6，10）T用 α1 ， α2 ， α3 ， α4 线性表出； （2）p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组．

设向量组
α1
=（1，1，1，3）T，
α2
=（-1，-3，5，1）T，
α3
=（3，2，-1，p+2）T，
α4
=（-2，-6，10，p）T．
（1）p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量
α
=（4，1，6，10）T用
α1
，
α2
，
α3
，
α4
线性表出；
（2）p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组．

题目解答

答案


设矩阵A的列向量分别由
α1
，
α2
，
α3
，
α4
组成，
则矩阵A的行列式为：
|A|=|(
α1
，
α2
，
α3
，
α4
)|=
.
1 -1 3 -2
1 -3 2 -6
1 5 -1 10
3 1 p+2 p
.
=2(2-p)，
从而：
（1）当p≠2时，向量组
α1
，
α2
，
α3
，
α4
是线性无关的．
此时，设：
α
=x1
α1
+x2
α2
+x3
α3
+x4
α4
，
对矩阵(A|
α
)作行初等变换如下：
(A|
α
)=(
α1
，
α2
，
α3
，
α4
|
α
)
=
1 -1 3 -2
1 -3 2 -6
1 5 -1 10
3 1 p+2 p
.
4
1
6
10
→
1 -1 3 -2
0 -2 -1 -4
0 6 -4 12
0 4 p-7 p+6
.
4
-3
2
-2

→
1 -1 3 -2
0 -2 -1 -4
0 0 -7 0
0 0 p-9 p-2
.
4
-3
-7
-8
→
1 -1 3 -2
0 -2 -1 -4
0 0 1 0
0 0 0 p-2
.
4
-3
1
1-p
，
从而解得：
x1=2，x2=
3p-4
p-2
，x3=1，x4=
1-p
p-2
，
∴得：
α
=2
α1
+
3p-4
p-2
α2
+
α3
+
1-p
p-2
α4

（2）当p=2时，|A|=0，
此时向量
α1
，
α2
，
α3
，
α4
线性相关，
将p=2代入矩阵A中，经过行初等变换，有：
A=
1 -1 3 -2
1 -3 2 -6
1 5 -1 10
3 1 4 2
→
1 -1 3 -2
0 -2 -1 -4
0 0 -7 0
0 0 -7 0
→
1 -1 0 -2
0 -2 0 -4
0 0 1 0
0 0 0 0
→
1 0 0 0
0 1 0 2
0 0 1 0
0 0 0 0
，
于是：
rank（A）=3，
α1
，
α2
，
α3
线性无关，并且
α4
=2
α2
，
同样的，
α1
，
α3
，
α4
也线性无关，
∴
α1
，
α2
，
α3
（或
α1
，
α3
，
α4
）为向量组的一个极大线性无关组．

解析

考查要点：本题主要考查向量组的线性相关性、矩阵的秩以及极大线性无关组的求解方法。

解题思路：

  1. 判断线性无关性：构造以向量组为列的矩阵，计算其行列式。若行列式非零，则向量组线性无关；反之则线性相关。
  2. 线性表出问题：当向量组线性无关时，通过解非齐次线性方程组确定唯一解。
  3. 线性相关性分析：当行列式为零时，向量组线性相关，进一步通过行简化阶梯形矩阵求秩和极大无关组。

关键点：

  • 行列式的计算是判断线性无关性的核心。
  • 行初等变换是求解线性方程组和分析矩阵秩的关键步骤。
  • 极大线性无关组的选取需基于行简化阶梯形矩阵中的主元列。

第（1）题

步骤1：构造矩阵并计算行列式
构造矩阵 $A = [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4]$，计算其行列式：
$|A| = \begin{vmatrix}1 & -1 & 3 & -2 \\1 & -3 & 2 & -6 \\1 & 5 & -1 & 10 \\3 & 1 & p+2 & p\end{vmatrix} = 2(2 - p)$

步骤2：判断线性无关性
当 $|A| \neq 0$ 时，即 $p \neq 2$，向量组线性无关。

步骤3：解线性方程组
设 $\alpha = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 + x_4\alpha_4$，对增广矩阵 $(A|\alpha)$ 进行行变换，解得：
$x_1 = 2, \quad x_3 = 1, \quad x_2 = \frac{3p - 4}{p - 2}, \quad x_4 = \frac{1 - p}{p - 2}$

第（2）题

步骤1：判断线性相关性
当 $|A| = 0$ 时，即 $p = 2$，向量组线性相关。

步骤2：求秩和极大无关组
将 $p = 2$ 代入矩阵 $A$ 并化简，得到秩为 $3$。极大线性无关组可选 $\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\}$ 或 $\{\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4\}$。