题目
图示等截面杆件，已知:_(2)=200GPa, =4(cm)^2求: ( 1 ) 作杆的轴力图 ; ( 2 ) 最大正应力;( 3 ) 最大线应变_(2)=200GPa, =4(cm)^2; ( 4 ) 杆的总变形_(2)=200GPa, =4(cm)^2。_(2)=200GPa, =4(cm)^2
图示等截面杆件，已知:
求:
( 1 ) 作杆的轴力图 ;
( 2 ) 最大正应力;
( 3 ) 最大线应变
;
( 4 ) 杆的总变形
。
题目解答
答案
解:由题，
（1）绘制轴力图如下：
（2）由（1）知：
（3）
（4）
解析
步骤 1：绘制轴力图
根据题目中给出的力的分布，我们可以绘制出轴力图。轴力图表示了杆件在不同位置的轴力大小。从左到右，轴力的变化如下：
- 在A点，轴力为0。
- 在B点，轴力为75kN。
- 在C点，轴力为75kN - 55kN = 20kN。
- 在D点，轴力为20kN - 25kN = -5kN。
- 在D点之后，轴力为-5kN。
步骤 2：计算最大正应力
最大正应力出现在轴力最大的位置，即B点。根据公式${\sigma }_{max}=\dfrac {F{N}_{max}}{A}$，其中$F{N}_{max}$为最大轴力，$A$为截面积。代入数值，得到${\sigma }_{max}=\dfrac {75kN}{0.0004{m}^{2}}=187.5MPa$。
步骤 3：计算最大线应变
最大线应变出现在最大正应力的位置，即B点。根据公式$\varepsilon =\dfrac {\sigma }{E}$，其中$\sigma $为应力，$E$为弹性模量。代入数值，得到$\varepsilon =\dfrac {187.5MPa}{200GPa}=9.375\times {10}^{-4}$。
步骤 4：计算杆的总变形
杆的总变形可以通过计算各段的变形量并求和得到。根据公式$\Delta L=\dfrac {F{N}_{i}\times {L}_{i}}{EA}$，其中$F{N}_{i}$为第i段的轴力，${L}_{i}$为第i段的长度，$E$为弹性模量，$A$为截面积。代入数值，得到$\Delta {L}_{AB}=\dfrac {75kN\times 2m}{200GPa\times 0.0004{m}^{2}}=187.5\times {10}^{-6}m$，$\Delta {L}_{BC}=\dfrac {20kN\times 2m}{200GPa\times 0.0004{m}^{2}}=50\times {10}^{-6}m$，$\Delta {L}_{CD}=\dfrac {-5kN\times 2m}{200GPa\times 0.0004{m}^{2}}=-12.5\times {10}^{-6}m$。因此，杆的总变形为$\Delta {L}_{AD}=\Delta {L}_{AB}+\Delta {L}_{BC}+\Delta {L}_{CD}=187.5\times {10}^{-6}m+50\times {10}^{-6}m-12.5\times {10}^{-6}m=225\times {10}^{-6}m=0.225mm$。
根据题目中给出的力的分布，我们可以绘制出轴力图。轴力图表示了杆件在不同位置的轴力大小。从左到右，轴力的变化如下：
- 在A点，轴力为0。
- 在B点，轴力为75kN。
- 在C点，轴力为75kN - 55kN = 20kN。
- 在D点，轴力为20kN - 25kN = -5kN。
- 在D点之后，轴力为-5kN。
步骤 2：计算最大正应力
最大正应力出现在轴力最大的位置，即B点。根据公式${\sigma }_{max}=\dfrac {F{N}_{max}}{A}$，其中$F{N}_{max}$为最大轴力，$A$为截面积。代入数值，得到${\sigma }_{max}=\dfrac {75kN}{0.0004{m}^{2}}=187.5MPa$。
步骤 3：计算最大线应变
最大线应变出现在最大正应力的位置，即B点。根据公式$\varepsilon =\dfrac {\sigma }{E}$，其中$\sigma $为应力，$E$为弹性模量。代入数值，得到$\varepsilon =\dfrac {187.5MPa}{200GPa}=9.375\times {10}^{-4}$。
步骤 4：计算杆的总变形
杆的总变形可以通过计算各段的变形量并求和得到。根据公式$\Delta L=\dfrac {F{N}_{i}\times {L}_{i}}{EA}$，其中$F{N}_{i}$为第i段的轴力，${L}_{i}$为第i段的长度，$E$为弹性模量，$A$为截面积。代入数值，得到$\Delta {L}_{AB}=\dfrac {75kN\times 2m}{200GPa\times 0.0004{m}^{2}}=187.5\times {10}^{-6}m$，$\Delta {L}_{BC}=\dfrac {20kN\times 2m}{200GPa\times 0.0004{m}^{2}}=50\times {10}^{-6}m$，$\Delta {L}_{CD}=\dfrac {-5kN\times 2m}{200GPa\times 0.0004{m}^{2}}=-12.5\times {10}^{-6}m$。因此，杆的总变形为$\Delta {L}_{AD}=\Delta {L}_{AB}+\Delta {L}_{BC}+\Delta {L}_{CD}=187.5\times {10}^{-6}m+50\times {10}^{-6}m-12.5\times {10}^{-6}m=225\times {10}^{-6}m=0.225mm$。