某单筋矩形截面梁，其截面尺寸 b = 350(mm), h = 900(mm), 承受的弯矩设计值 M_d = 450(kN) cdot (m), 拟采用 HRB400 钢筋, C30 混凝土, 问此截面需配置多少钢筋才能满足承载力要求?

本题考查单筋矩形截面梁正截面受弯承载力的计算。解题思路是先根据已知条件确定相关参数，然后通过弯矩设计值公式计算出受压区高度，再根据力的平衡关系计算所需的钢筋面积。

1. 确定相关参数：
   • 已知截面尺寸$b = 350\text{mm}$，$h = 900\text{mm}$，假设混凝土保护层厚度为$40\text{mm}$，箍筋直径为$8\text{mm}$，纵筋直径为$20\text{mm}$，则有效高度$h_0=h - 40 - 8 - \frac{20}{2}=900 - 40 - 8 - 10 = 860\text{mm}$。
   • 对于C30混凝土，$f_c = 14.3\text{N/mm}^2$；对于HRB400钢筋，$f_y = 360\text{N/mm}^2$，相对界限受压区高度$\xi_b = 0.518$，则$\xi_b h_0 = 0.518\times860 = 445.48\text{mm}$。
2. 计算受压区高度$x$：
   • 单筋矩形截面梁正截面受弯承载力计算公式为$M_d = f_c b x (h_0 - 0.5x)$，已知$M_d = 450\times10^6\text{N}\cdot\text{mm}$，$f_c = 14.3\text{N/mm}^2$，$b = 350\text{mm}$，$h_0 = 860\text{mm}$，代入公式可得：
     $450\times10^6 = 14.3\times350\times x\times(860 - 0.5x)$
   • 化简方程：
     $450\times10^6 = 5005x\times(860 - 0.5x)$
     $450\times10^6 = 4304300x - 2502.5x^2$
   • 整理为一元二次方程的标准形式$ax^2 + bx + c = 0$：
     $2502.5x^2 - 4304300x + 450\times10^6 = 0$
   • 其中$a = 2502.5$，$b = -4304300$，$c = 450\times10^6$，根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$可得：
     $x=\frac{4304300\pm\sqrt{(-4304300)^2 - 4\times2502.5\times450\times10^6}}{2\times2502.5}$
     $x=\frac{4304300\pm\sqrt{1.8527\times10^{13}-4.5045\times10^{12}}}{5005}$
     $x=\frac{4304300\pm\sqrt{1.40225\times10^{13}}}{5005}$
     $x=\frac{4304300\pm1184166.3}{5005}$
   • 解得$x_1=\frac{4304300 + 1184166.3}{5005}\approx1096.57\text{mm}$，$x_2=\frac{4304300 - 1184166.3}{5005}\approx112.16\text{mm}$。
   • 因为$x_1 = 1096.57\text{mm}>\xi_b h_0 = 445.48\text{mm}$，属于超筋梁，不满足要求，舍去；所以取$x = 112.16\text{mm}$。
3. 计算所需钢筋面积$A_s$：
   • 根据力的平衡关系$f_y A_s = f_c b x$，可得：
     $A_s = \frac{f_c b x}{f_y}=\frac{14.3\times350\times112.16}{360}\approx1560\text{mm}^2$