题目
(多选)任取集合A=(x∈N|1≤x≤n,n∈N,-|||-geqslant 2 的n个非空子集A 1,A2,···,An,定义-|||-_{y)(i,jin A) 为 _(y)= ) 0,(A)_(i)cap (A)_(i)=Q 1,(A)_(i)cap (A)_(1)neq Q 个值之和为S,则 ()
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查集合的子集性质、矩阵元素求和的奇偶性分析及极值问题。
解题核心思路：
- 最小值分析：通过构造互不相交的单元素子集，使非对角线元素全为0，仅对角线元素为1，得到S的最小值为n。
- 最大值分析：所有子集取全集时，所有元素均为1，得到S的最大值为n²。
- 奇偶性分析：通过平方数与原数奇偶性一致，结合对角线元素恒为1的特性，推导S与n奇偶性相同。
- 倍数关系反例：构造部分相交的子集，使S不为n的倍数，否定选项B。
选项C：S的最小值为n
构造方法：
- 选取n个互不相交的单元素子集，如A₁={1}, A₂={2}, ..., Aₙ={n}。
- 此时A_i ∩ Aj = ∅（i ≠ j），故非对角线元素a{i,j}=0；对角线元素a_{i,i}=1。
- 总和S = 1 + 1 + ... + 1（共n项）= n，故最小值为n。
选项D：S的最大值为n²
构造方法：
- 选取所有子集均为全集A，即A₁ = A₂ = ... = Aₙ = {1, 2, ..., n}。
- 此时A_i ∩ Aj = A ≠ ∅，故所有a{i,j}=1。
- 总和S = n²，故最大值为n²。
选项A：S与n的奇偶性相同
关键推导：
- 对角线元素恒为1：无论子集如何选取，a_{i,i}=1，对角线元素之和为n。
- 非对角线元素之和奇偶性：设非对角线元素之和为T，则S = n + T。
- 平方数性质：若所有子集相同，则S = n²，此时n²与n奇偶性相同。
- 一般情况：无论子集如何选取，T的奇偶性与n² - n一致（因n² ≡ n mod 2），故S = n + T ≡ n mod 2。
选项B：S是n的倍数
反例：
- 当n=3时，构造子集A₁={1}, A₂={1}, A₃={2}。
- 计算得S = 5，而5不是3的倍数，故B错误。