题目
58．张先生月工资 6,000元，并保持不变，他计划购买住房，届时需准备首付款 75万元。张先生每月可以用工资的 50%准备首付。若名义年投资报酬率 6%，按月复利，不考虑其他一次性投资，则张先生至少需要（）才能攒够首付款。（答案取最接近值）A. 9年B. 21年C. 19年D. 14年
58．张先生月工资 6,000元，并保持不变，他计划购买住房，届时需准备首付款 75万元。张先生每月可以用工资的 50%准备首付。若名义年投资报酬率 6%，按月复利，不考虑其他一次性投资，则张先生至少需要（）才能攒够首付款。（答案取最接近值）
A. 9年
B. 21年
C. 19年
D. 14年
题目解答
答案
D. 14年
解析
步骤 1：确定每月投资金额
张先生每月工资为 6,000 元，他计划每月用工资的 50%来准备首付，因此每月投资金额为：
\[ 6,000 \times 0.5 = 3,000 \text{ 元} \]
步骤 2：确定名义年投资报酬率和月复利
名义年投资报酬率为 6%，按月复利，因此月投资报酬率为：
\[ \frac{6\%}{12} = 0.5\% = 0.005 \]
步骤 3：计算所需时间
我们需要计算张先生至少需要多少个月才能攒够 75 万元。这可以通过计算等额本息的未来值来解决。等额本息的未来值公式为：
\[ FV = PMT \times \frac{(1 + r)^n - 1}{r} \]
其中，\( FV \) 是未来值，\( PMT \) 是每期支付额，\( r \) 是每期利率，\( n \) 是期数。
将已知值代入公式：
\[ 750,000 = 3,000 \times \frac{(1 + 0.005)^n - 1}{0.005} \]
解这个方程，得到：
\[ 750,000 = 3,000 \times \frac{(1.005)^n - 1}{0.005} \]
\[ 750,000 = 3,000 \times 200 \times ((1.005)^n - 1) \]
\[ 750,000 = 600,000 \times ((1.005)^n - 1) \]
\[ 1.25 = (1.005)^n - 1 \]
\[ 2.25 = (1.005)^n \]
取对数：
\[ \log(2.25) = n \log(1.005) \]
\[ n = \frac{\log(2.25)}{\log(1.005)} \]
\[ n \approx 167.6 \]
因此，张先生至少需要 167.6 个月，即大约 14 年才能攒够首付款。
张先生每月工资为 6,000 元，他计划每月用工资的 50%来准备首付，因此每月投资金额为：
\[ 6,000 \times 0.5 = 3,000 \text{ 元} \]
步骤 2：确定名义年投资报酬率和月复利
名义年投资报酬率为 6%，按月复利，因此月投资报酬率为：
\[ \frac{6\%}{12} = 0.5\% = 0.005 \]
步骤 3：计算所需时间
我们需要计算张先生至少需要多少个月才能攒够 75 万元。这可以通过计算等额本息的未来值来解决。等额本息的未来值公式为：
\[ FV = PMT \times \frac{(1 + r)^n - 1}{r} \]
其中，\( FV \) 是未来值，\( PMT \) 是每期支付额，\( r \) 是每期利率，\( n \) 是期数。
将已知值代入公式：
\[ 750,000 = 3,000 \times \frac{(1 + 0.005)^n - 1}{0.005} \]
解这个方程，得到：
\[ 750,000 = 3,000 \times \frac{(1.005)^n - 1}{0.005} \]
\[ 750,000 = 3,000 \times 200 \times ((1.005)^n - 1) \]
\[ 750,000 = 600,000 \times ((1.005)^n - 1) \]
\[ 1.25 = (1.005)^n - 1 \]
\[ 2.25 = (1.005)^n \]
取对数：
\[ \log(2.25) = n \log(1.005) \]
\[ n = \frac{\log(2.25)}{\log(1.005)} \]
\[ n \approx 167.6 \]
因此，张先生至少需要 167.6 个月，即大约 14 年才能攒够首付款。