【题目】已知某消费者每年用于商品1和商品2的收入为540元,两商品的价格分别为P1=20元和P2=30元,该消费者的效用函数为 U=3X_1X_2^2 ,该消费者每年购买这两种商品的数量应各是多少?每年从中获得的总效用是多少?

本题可根据消费者均衡条件以及预算约束方程来求解消费者购买两种商品的数量，再将商品数量代入效用函数求出总效用。

步骤一：根据消费者均衡条件列出等式

消费者均衡的条件是：$\frac{MU_1}{P_1}=\frac{MU_2}{P_2}$，其中$MU_1$和$MU_2$分别是商品$1$和商品$2$的边际效用，$P_1$和$P_2$分别是商品$1$和商品$2$的价格。

1. 计算商品$1$的边际效用$MU_1$：边际效用是指消费者在一定时间内增加一单位商品的消费所得到的效用量的增量。对效用函数$U = 3X_1X_2^2$关于$X_1$求偏导数，可得：$MU_1=\frac{\partial U}{\partial X_1}=3X_2^2$
2. 计算商品$2$的边际效用$MU_2$：对效用函数$U = 3X_1X_2^2$关于$X_2$求偏导数，可得：$MU_2=\frac{\partial U}{\partial X_2}=6X_1X_2$
3. 根据消费者均衡条件列出等式：将$MU_1 = 3X_2^2$，$MU_2 = 6X_1X_2$，$P_1 = 20$，$P_2 = 30$代入$\frac{MU_1}{P_1}=\frac{MU_2}{P_2}$，可得：$\frac{3X_2^2}{20}=\frac{6X_1X_2}{30}$等式两边同时乘以$60$去分母得：$9X_2^2 = 12X_1X_2$。 因为$X_2\neq0$（若$X_2 = 0$，则效用$U = 0$，不符合消费者追求效用最大化的目标），等式两边同时除以$3X_2$，得到$3X_2 = 4X_1$，即$X_2=\frac{4}{3}X_1$。

步骤二：根据预算约束方程求出$X_1$和$X_2$的值

预算约束方程为：$P_1X_1 + P_2X_2 = I$，其中$I$是消费者的收入。 已知$P_1 = 20$，$P_2 = 30$，$I = 540$，将$X_2=\frac{4}{3}X_1$代入预算约束方程可得：$20X_1 + 30\times\frac{4}{3}X_1 = 540$化简得：$20X_1 + 40X_1 = 540$，即$60X_1 = 540$，解得$X_1 = 9$。 将$X_1 = 9$代入$X_2=\frac{4}{3}X_1$，可得$X_2=\frac{4}{3}\times9 = 12$。

步骤三：计算总效用$U$

将$X_1 = 9$，$X_2 = 12$代入效用函数$U = 3X_1X_2^2$，可得：$U = 3\times9\times12^2 = 3\times9\times144 = 3888$

综上，该消费者每年购买商品$1$的数量是$9$，购买商品$2$的数量是$12$，每年从中获得的总效用是$3888$。