习题-|||-1.在一箱子中装有12只开关,其中2只是次品,在其中取两次,每次任取一只,考虑两-|||-种试验:(1)放回抽样;(2)不放回抽样.我们定义随机变量X Y如下:-|||-= 0,若第一次取出的是正品, 1,若第一次取出的是次品; -|||-= 0,若第二次取出的是正品, 1,若第二次取出的是次品. -|||-试分别就(1)、(2)两种情况,写出X和Y的联合分布律.

考查要点：本题主要考查有放回抽样和无放回抽样下的联合分布律的求解，涉及条件概率和独立性的理解。

解题核心思路：

1. 有放回抽样：两次抽取相互独立，联合概率为各次概率的乘积。
2. 无放回抽样：两次抽取不独立，需根据第一次结果调整第二次的概率。

破题关键点：

• 区分两种抽样方式：有放回时总数不变，无放回时总数减少且剩余次品数变化。
• 分步计算：分别计算X和Y取不同值时的联合概率，注意无放回时的条件概率。

(1) 有放回抽样

独立事件，两次抽取互不影响：

• X=0（第一次正品）：概率为 $\frac{10}{12}$。
• Y=0（第二次正品）：概率为 $\frac{10}{12}$。
• 联合概率：
  • $P(X=0,Y=0) = \frac{10}{12} \times \frac{10}{12} = \frac{25}{36}$，
  • $P(X=0,Y=1) = \frac{10}{12} \times \frac{2}{12} = \frac{5}{36}$，
  • $P(X=1,Y=0) = \frac{2}{12} \times \frac{10}{12} = \frac{5}{36}$，
  • $P(X=1,Y=1) = \frac{2}{12} \times \frac{2}{12} = \frac{1}{36}$。

(2) 无放回抽样

非独立事件，第一次抽取影响第二次：

• X=0（第一次正品）：概率为 $\frac{10}{12}$，剩余正品9个，次品2个，总数11个：
  • $P(Y=0|X=0) = \frac{9}{11}$，$P(Y=1|X=0) = \frac{2}{11}$，
  • $P(X=0,Y=0) = \frac{10}{12} \times \frac{9}{11} = \frac{15}{22}$，
  • $P(X=0,Y=1) = \frac{10}{12} \times \frac{2}{11} = \frac{5}{33}$。
• X=1（第一次次品）：概率为 $\frac{2}{12}$，剩余正品10个，次品1个，总数11个：
  • $P(Y=0|X=1) = \frac{10}{11}$，$P(Y=1|X=1) = \frac{1}{11}$，
  • $P(X=1,Y=0) = \frac{2}{12} \times \frac{10}{11} = \frac{5}{33}$，
  • $P(X=1,Y=1) = \frac{2}{12} \times \frac{1}{11} = \frac{1}{66}$。