题目

[ 3-47] 在图示刚架中,已知均布载荷 _(1)=(q)_(2)=500N/m ,F=200N, =b=1m, =a=2m; 滚子-|||-支座B所在斜面的倾角为45°。求支座A和B的约束力。-|||-q1-|||-F-|||-D q2-|||-A B-|||-45 n-|||-a b-|||-题 3-47 图

题目解答

答案

解析

本题主要考察刚架的受力分析与平衡方程应用，关键是正确选取研究对象、分析约束力并建立平衡方程求解。

步骤1：确定研究对象并画受力图

选取整个刚架为研究对象，受力包括：

  • 主动力：均布载荷$q_1=q_2=500\,\text{N/m}$（转化为集中力：$F_{q1}=q_1b=500\,\text{N}$，$F_{q2}=q_2a=1000\,\text{N}$）、集中力$F=200\,\text{N}$；
  • 约束力：固定铰支座$A$（$F_{Ax}$水平、$F_{Ay}$竖直）、滚子支座$B$（法向力$F_{NB}$，垂直斜面向上）。

步骤2：建立坐标系与平衡方程

以$A$为原点，水平向右为$x$轴，竖直向上为$y$轴。平衡方程：

  1. $x$方向合力为0：$\sum F_x=0$
  2. $y$方向合力为0：$\sum F_y=0$
  3. 对$A$点力矩为0：$\sum M_A=0$（避免解$F_{Ax}$和$F_{Ay}$联立方程）。

步骤3：计算集中力与力矩

  • 均布载荷转化：$q_1$作用在$AC$中点（$x=b/2=0.5\,\text{m}$），$q_2$作用在$CD$中点（$x=b+a/2=2\,\text{m}$）；
  • $F_{NB}$的分量：$F_{NBx}=F_{NB}\sin45^\circ$（水平向左），$F_{NBy}=F_{NB}\cos45^\circ$（竖直向上）。

步骤4：求解平衡方程

  1. 力矩方程$\sum M_A=0$：
    $F_{q1}\cdot\frac{b}{2} + F_{q2}\cdot\left(b+\frac{a}{2}\right) + F\cdot(b+a) - F_{NB}\cos45^\circ\cdot(b+a)=0$
    代入数据解得：
    $F_{NB}=\frac{500\cdot0.5 + 1000\cdot2 + 200\cdot3}{\cos45^\circ\cdot3}\approx1037\,\text{N}$

  2. $y$方向方程$\sum F_y=0$：
    $F_{Ay} + F_{NB}\cos45^\circ = F_{q1} + F_{q2} + F$
    代入得：
    $F_{Ay}\approx767\,\text{N}$

  3. $x$方向方程$\sum F_x=0$：
    $F_{Ax} = F_{NB}\sin45^\circ$
    代入得：
    $F_{Ax}\approx1033\,\text{N}$