题目
设晶格常数为的一维晶格,导带极小值附近能量和价带极大值附近能量分别为:,为电子惯性质量,。试求:(1)禁带宽度;(2)导带底电子有效质量;(3)价带顶电子有效质量;(4)价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化。
设晶格常数为的一维晶格,导带极小值附近能量和价带极大值附近能量分别为:
,
为电子惯性质量,。试求:
(1)禁带宽度;
(2)导带底电子有效质量;
(3)价带顶电子有效质量;
(4)价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化。
题目解答
答案
解:(1)导带:由
得:
又因为
所以:在
处,
取最小值
价带:
得:
=0
又因为
所以:
处,
取最大值
因此:
(2)
(3)
(4)准动量的定义:
所以:
解析
步骤 1：计算导带极小值处的波矢
由导带能量公式 $\dfrac {{2}^{2}{k}_{k}}{3{m}_{0}}+\dfrac {{2}^{2}(k-{k}_{1})}{{m}_{0}}=0$，解得 $k=\dfrac {3}{4}{k}_{1}$。
步骤 2：计算价带极大值处的波矢
由价带能量公式 $\dfrac {d{E}_{v}}{dk}=-\dfrac {6}{{m}_{0}}=0$，解得 $k=0$。
步骤 3：计算禁带宽度
禁带宽度 $E_g$ 为导带极小值能量与价带极大值能量之差，即 $E_g = E_c(\dfrac {3}{4}{k}_{1}) - E_v(0) = \dfrac {{{k}_{1}}^{2}}{12{m}_{0}} = 0.64ev$。
步骤 4：计算导带底电子有效质量
导带底电子有效质量 $n_k$ 为 $\dfrac {2}{d{k}^{2}}$，代入 $k=\dfrac {3}{4}{k}_{1}$，得 $n_k = \dfrac {3}{8}{m}_{0}$。
步骤 5：计算价带顶电子有效质量
价带顶电子有效质量 $n_k^+$ 为 $\dfrac {\dfrac {2m}{{d}^{2}{L}_{2}}}{d{k}^{2}}$，代入 $k=0$，得 $n_k^+ = -\dfrac {{m}_{0}}{6}$。
步骤 6：计算准动量变化
准动量变化 $\Delta P$ 为 $hk(\dfrac {3}{4}) - ink = n\dfrac {3}{4}{k}_{1} - 0 = 7.95\times {10}^{-25}N/s$。
由导带能量公式 $\dfrac {{2}^{2}{k}_{k}}{3{m}_{0}}+\dfrac {{2}^{2}(k-{k}_{1})}{{m}_{0}}=0$，解得 $k=\dfrac {3}{4}{k}_{1}$。
步骤 2：计算价带极大值处的波矢
由价带能量公式 $\dfrac {d{E}_{v}}{dk}=-\dfrac {6}{{m}_{0}}=0$，解得 $k=0$。
步骤 3：计算禁带宽度
禁带宽度 $E_g$ 为导带极小值能量与价带极大值能量之差，即 $E_g = E_c(\dfrac {3}{4}{k}_{1}) - E_v(0) = \dfrac {{{k}_{1}}^{2}}{12{m}_{0}} = 0.64ev$。
步骤 4：计算导带底电子有效质量
导带底电子有效质量 $n_k$ 为 $\dfrac {2}{d{k}^{2}}$，代入 $k=\dfrac {3}{4}{k}_{1}$，得 $n_k = \dfrac {3}{8}{m}_{0}$。
步骤 5：计算价带顶电子有效质量
价带顶电子有效质量 $n_k^+$ 为 $\dfrac {\dfrac {2m}{{d}^{2}{L}_{2}}}{d{k}^{2}}$，代入 $k=0$，得 $n_k^+ = -\dfrac {{m}_{0}}{6}$。
步骤 6：计算准动量变化
准动量变化 $\Delta P$ 为 $hk(\dfrac {3}{4}) - ink = n\dfrac {3}{4}{k}_{1} - 0 = 7.95\times {10}^{-25}N/s$。