题目
如图所示,一个半径为R 的无限长半圆柱面导体,沿长度方向的电流I 在柱面上均匀分布.求半圆柱面轴线OO′上的磁感强度.z-|||-R-|||-o`-|||-I-|||-x-|||-0-|||-(a)-|||-y-|||-d-|||-θ __-|||-ō x-|||-dB
如图所示,一个半径为R 的无限长半圆柱面导体,沿长度方向的电流I 在柱面上均匀分布.求半圆柱面轴线OO′上的磁感强度.
题目解答
答案
分析 毕-萨定理只能用于求线电流的磁场分布,对于本题的半圆柱形面电流,可将半圆柱面分割成宽度
的细电流,细电流与轴线OO′平行,将细电流在轴线上产生的磁感强度叠加,即可求得半圆柱面轴线上的磁感强度.
的细电流,细电流与轴线OO′平行,将细电流在轴线上产生的磁感强度叠加,即可求得半圆柱面轴线上的磁感强度.解 根据分析,由于长直细线中的电流
,它在轴线上一点激发的磁感强度的大小为
,它在轴线上一点激发的磁感强度的大小为
其方向在Oxy 平面内,且与由dl 引向点O 的半径垂直,如图7 -13(b)所示.由对称性可知,半圆柱面上细电流在轴线OO′上产生的磁感强度叠加后,得
则轴线上总的磁感强度大小
B 的方向指向Ox 轴负向.
解析
步骤 1：将半圆柱面分割成细电流
将半圆柱面分割成宽度为 $d\theta$ 的细电流，细电流的大小为 $I_{dl} = \frac{I}{\pi R} R d\theta = I d\theta$，其中 $I$ 是总电流，$R$ 是半圆柱面的半径，$\theta$ 是角度变量。
步骤 2：计算细电流在轴线上产生的磁感强度
细电流在轴线上一点激发的磁感强度的大小为 $dB = \frac{\mu_0}{2\pi R} I d\theta$，其方向在Oxy 平面内，且与由细电流引向点O 的半径垂直。
步骤 3：计算轴线上的总磁感强度
由于长直细线中的电流与轴线平行，由对称性可知，半圆柱面上细电流在轴线OO′上产生的磁感强度叠加后，得 ${B_y} = \int_{0}^{\pi} dB \sin \theta = 0$，${B_x} = \int_{0}^{\pi} dB \cos \theta = \int_{0}^{\pi} \frac{\mu_0}{2\pi R} I d\theta \cdot \cos \theta = \frac{\mu_0 I}{2\pi R} \int_{0}^{\pi} \cos \theta d\theta = \frac{\mu_0 I}{2\pi R} \cdot 2 = \frac{\mu_0 I}{\pi R}$。
将半圆柱面分割成宽度为 $d\theta$ 的细电流，细电流的大小为 $I_{dl} = \frac{I}{\pi R} R d\theta = I d\theta$，其中 $I$ 是总电流，$R$ 是半圆柱面的半径，$\theta$ 是角度变量。
步骤 2：计算细电流在轴线上产生的磁感强度
细电流在轴线上一点激发的磁感强度的大小为 $dB = \frac{\mu_0}{2\pi R} I d\theta$，其方向在Oxy 平面内，且与由细电流引向点O 的半径垂直。
步骤 3：计算轴线上的总磁感强度
由于长直细线中的电流与轴线平行，由对称性可知，半圆柱面上细电流在轴线OO′上产生的磁感强度叠加后，得 ${B_y} = \int_{0}^{\pi} dB \sin \theta = 0$，${B_x} = \int_{0}^{\pi} dB \cos \theta = \int_{0}^{\pi} \frac{\mu_0}{2\pi R} I d\theta \cdot \cos \theta = \frac{\mu_0 I}{2\pi R} \int_{0}^{\pi} \cos \theta d\theta = \frac{\mu_0 I}{2\pi R} \cdot 2 = \frac{\mu_0 I}{\pi R}$。