题目
4.11题图为一滚水坝,上游水位因坝的阻挡而抬高,测得断面 1-1 的水深为1.5m,下游断-|||-面 2-2 水深为0.6m。略去水头损失,求水流对单位坝宽(垂直纸面方向)的水平作用-|||-力F。-|||-1 2-|||-P1 F-|||-7777-|||-1 2-|||-4.11题图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定水流速度
根据伯努利方程，忽略水头损失，可以得到上游和下游的水位差与水流速度的关系。设上游水位为 \(h_1\)，下游水位为 \(h_2\)，则有：
\[ \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2 \]
由于上游水位较高，水流速度 \(v_1\) 较小，可以近似为0，因此方程简化为：
\[ \rho g h_1 = \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2 \]
解得：
\[ v_2 = \sqrt{2g(h_1 - h_2)} \]
步骤 2：计算水流对坝的水平作用力
水流对坝的水平作用力 \(F\) 可以通过动量定理计算，即：
\[ F = \rho Q v_2 \]
其中，\(Q\) 是单位时间通过坝的水流量，可以表示为：
\[ Q = v_2 \times A \]
其中，\(A\) 是单位坝宽的过水断面面积，即 \(A = h_2 \times 1\)（单位坝宽为1）。
步骤 3：代入数值计算
代入 \(h_1 = 1.5m\)，\(h_2 = 0.6m\)，\(g = 9.81m/s^2\)，\(\rho = 1000kg/m^3\)，计算得到：
\[ v_2 = \sqrt{2 \times 9.81 \times (1.5 - 0.6)} = \sqrt{17.658} \approx 4.2m/s \]
\[ Q = 4.2 \times 0.6 = 2.52m^3/s \]
\[ F = 1000 \times 2.52 \times 4.2 = 10584N \]
根据伯努利方程，忽略水头损失，可以得到上游和下游的水位差与水流速度的关系。设上游水位为 \(h_1\)，下游水位为 \(h_2\)，则有：
\[ \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2 \]
由于上游水位较高，水流速度 \(v_1\) 较小，可以近似为0，因此方程简化为：
\[ \rho g h_1 = \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2 \]
解得：
\[ v_2 = \sqrt{2g(h_1 - h_2)} \]
步骤 2：计算水流对坝的水平作用力
水流对坝的水平作用力 \(F\) 可以通过动量定理计算，即：
\[ F = \rho Q v_2 \]
其中，\(Q\) 是单位时间通过坝的水流量，可以表示为：
\[ Q = v_2 \times A \]
其中，\(A\) 是单位坝宽的过水断面面积，即 \(A = h_2 \times 1\)（单位坝宽为1）。
步骤 3：代入数值计算
代入 \(h_1 = 1.5m\)，\(h_2 = 0.6m\)，\(g = 9.81m/s^2\)，\(\rho = 1000kg/m^3\)，计算得到：
\[ v_2 = \sqrt{2 \times 9.81 \times (1.5 - 0.6)} = \sqrt{17.658} \approx 4.2m/s \]
\[ Q = 4.2 \times 0.6 = 2.52m^3/s \]
\[ F = 1000 \times 2.52 \times 4.2 = 10584N \]