题目

3.设A=(a_(ij))_(ntimes n)，如果A的元素满足 |a_(ii)|>sum_(j=1jneq i)^n|a_(ij)| (i=1,2,...,n).， 称A为弱对角占优阵。

3.设$A=(a_{ij})_{n\times n}$，如果A的元素满足 $\left|a_{ii}\right|>\sum_{j=1\\j\neq i}^{n}\left|a_{ij}\right| (i=1,2,\cdots,n).$， 称A为弱对角占优阵。

题目解答

答案

为了判断矩阵 $ A = (a_{ij})_{n \times n} $ 是否为弱对角占优阵，我们需要检查每个对角元素 $ a_{ii} $ 是否满足以下条件： \[ |a_{ii}| > \sum_{j=1, j \neq i}^{n} |a_{ij}| \quad \text{对于} \quad i = 1, 2, \cdots, n. \] 这意味着每个对角元素的绝对值必须大于该行中所有其他元素的绝对值之和。 让我们通过一个例子来说明这个过程。考虑以下 $ 3 \times 3 $ 矩阵： \[ A = \begin{pmatrix} 5 & -1 & 2 \\ -3 & 6 & 1 \\ 2 & -4 & 7 \end{pmatrix}. \] 我们将检查矩阵 $ A $ 的每一行： 1. 对于第一行 $ i = 1 $： \[ |a_{11}| = |5| = 5, \quad \sum_{j=1, j \neq 1}^{3} |a_{1j}| = |a_{12}| + |a_{13}| = |-1| + |2| = 1 + 2 = 3. \] 由于 $ 5 > 3 $，第一行满足条件。 2. 对于第二行 $ i = 2 $： \[ |a_{22}| = |6| = 6, \quad \sum_{j=1, j \neq 2}^{3} |a_{2j}| = |a_{21}| + |a_{23}| = |-3| + |1| = 3 + 1 = 4. \] 由于 $ 6 > 4 $，第二行满足条件。 3. 对于第三行 $ i = 3 $： \[ |a_{33}| = |7| = 7, \quad \sum_{j=1, j \neq 3}^{3} |a_{3j}| = |a_{31}| + |a_{32}| = |2| + |-4| = 2 + 4 = 6. \] 由于 $ 7 > 6 $，第三行满足条件。 由于矩阵 $ A $ 的所有行都满足条件，我们得出结论，矩阵 $ A $ 是弱对角占优阵。 因此，答案是： \[ \boxed{A \text{ 是弱对角占优阵}} \]

解析

本题考查弱对角占优阵的定义及判断方法。解题思路是根据弱对角占优阵的定义，对矩阵的每一行进行检查，判断该行对角元素的绝对值是否大于该行中其他元素绝对值之和。若矩阵的所有行都满足该条件，则该矩阵为弱对角占优阵。

下面以矩阵$A = \begin{pmatrix} 5 & -1 & 2 \\ -3 & 6 & 1 \\ 2 & -4 & 7 \end{pmatrix}$为例进行详细判断：

  1. 检查第一行（$i = 1$）：
    • 对角元素$a_{11}=5$，其绝对值$\vert a_{11}\vert=\vert 5\vert = 5$。
    • 该行其他元素为$a_{12}=-1$和$a_{13}=2$，它们绝对值之和为$\sum_{j=1, j \neq 1}^{3} \vert a_{1j}\vert = \vert a_{12}\vert + \vert a_{13}\vert = \vert -1\vert + \vert 2\vert = 1 + 2 = 3$。
    • 因为$5>3$，所以第一行满足$\vert a_{ii}\vert > \sum_{j=1, j \neq i}^{n} \vert a_{ij}\vert$的条件。
  2. 检查第二行（$i = 2$）：
    • 对角元素$a_{22}=6$，其绝对值$\vert a_{22}\vert=\vert 6\vert = 6$。
    • 该行其他元素为$a_{21}=-3$和$a_{23}=1$，它们绝对值之和为$\sum_{j=1, j \neq 2}^{3} \vert a_{2j}\vert = \vert a_{21}\vert + \vert a_{23}\vert = \vert -3\vert + \vert 1\vert = 3 + 1 = 4$。
    • 因为$6>4$，所以第二行满足$\vert a_{ii}\vert > \sum_{j=1, j \neq i}^{n} \vert a_{ij}\vert$的条件。
  3. 检查第三行（$i = 3$）：
    • 对角元素$a_{33}=7$，其绝对值$\vert a_{33}\vert=\vert 7\vert = 7$。
    • 该行其他元素为$a_{31}=2$和$a_{32}=-4$，它们绝对值之和为$\sum_{j=1, j \neq 3}^{3} \vert a_{3j}\vert = \vert a_{31}\vert + \vert a_{32}\vert = \vert 2\vert + \vert -4\vert = 2 + 4 = 6$。
    • 因为$7>6$，所以第三行满足$\vert a_{ii}\vert > \sum_{j=1, j \neq i}^{n} \vert a_{ij}\vert$的条件。

由于矩阵$A$的所有行都满足$\vert a_{ii}\vert > \sum_{j=1, j \neq i}^{n} \vert a_{ij}\vert$的条件，所以矩阵$A$是弱对角占优阵。