(11)设某厂家生产某产品的产量为Q，成本C(Q)=100+13Q，该产品的单价为p，需求量Q(p)=(800)/(p+3)-2，则该厂家获得最大利润时的产量为____.

考查要点：本题主要考查利用微积分求解最大利润的问题，涉及收入函数、成本函数、利润函数的建立，以及通过求导找到极值点。

解题核心思路：

1. 建立收入函数：将需求量函数$Q(p)$转化为价格$p$关于产量$Q$的函数，进而得到收入函数$R(Q)$。
2. 构建利润函数：利润$L(Q) = R(Q) - C(Q)$，需将收入与成本函数结合。
3. 求导找极值：对利润函数求导，令导数为零找到临界点，并通过二阶导数验证是否为极大值。

破题关键点：

• 正确转换价格与产量关系：从$Q(p)$解出$p(Q)$是关键第一步。
• 化简利润函数：通过代数变形简化求导过程。
• 导数计算与极值验证：确保一阶导数求解正确，二阶导数符号判断无误。

步骤1：建立价格与产量的关系

由需求量函数$Q(p) = \frac{800}{p+3} - 2$，解得：
$Q + 2 = \frac{800}{p+3} \implies p + 3 = \frac{800}{Q + 2} \implies p = \frac{800}{Q + 2} - 3.$

步骤2：构建收入函数

收入函数为价格乘以产量：
$R(Q) = p \cdot Q = \left( \frac{800}{Q + 2} - 3 \right) Q = \frac{800Q}{Q + 2} - 3Q.$

步骤3：构建利润函数

成本函数为$C(Q) = 100 + 13Q$，利润函数为：
$L(Q) = R(Q) - C(Q) = \frac{800Q}{Q + 2} - 3Q - (100 + 13Q) = \frac{800Q}{Q + 2} - 16Q - 100.$

步骤4：化简利润函数

将$\frac{800Q}{Q + 2}$拆分为：
$\frac{800Q}{Q + 2} = 800 - \frac{1600}{Q + 2},$
因此利润函数可化简为：
$L(Q) = 700 - \frac{1600}{Q + 2} - 16Q.$

步骤5：求导并解临界点

对$L(Q)$求导：
$L'(Q) = \frac{1600}{(Q + 2)^2} - 16.$
令$L'(Q) = 0$，解得：
$\frac{1600}{(Q + 2)^2} = 16 \implies (Q + 2)^2 = 100 \implies Q + 2 = 10 \implies Q = 8.$

步骤6：验证极大值

二阶导数为：
$L''(Q) = -\frac{3200}{(Q + 2)^3}.$
当$Q = 8$时，$L''(8) = -\frac{3200}{10^3} = -3.2 < 0$，说明$Q = 8$是极大值点。