题目
例7.30试求图示超静定梁支座约束力值,梁弯曲刚度EI为常量。-|||-F F-|||-A.-|||-C 6 B-|||-a a a a-|||-例7.30图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定基本系统
去C支座，取简支梁AB为基本系统。此时，梁AB在C点处的挠度为零，即${\omega }_{c}=0$。
步骤 2：计算挠度
根据挠度公式，计算C点处的挠度${\omega }_{c}$。对于简支梁AB，C点处的挠度由两部分组成：一部分是由于支座A和B的约束力${F}_{A}$和${F}_{B}$引起的，另一部分是由于外力F引起的。具体计算如下：
${u}_{a}=\dfrac {{F}_{a}}{3EI}+\dfrac {F{a}^{2}}{2EI}a-\dfrac {F{(2a)}^{3}}{3EI}=\dfrac {11{Fe}^{3}}{6El}$ (↓)
${\omega }_{c}=\dfrac {{F}_{c}{(4a)}^{3}}{48El}=\dfrac {4{F}_{c}{a}^{3}}{3El}$ (↑)
步骤 3：求解支座约束力
由${\omega }_{c}=0$，可以求解出支座C的约束力${F}_{c}$。将${\omega }_{c}$的表达式代入${\omega }_{c}=0$，得到：
$\dfrac {4{F}_{c}{a}^{3}}{3El}=\dfrac {11{Fe}^{3}}{6El}$
解得：${F}_{c}=\dfrac {11F}{8}$ (↑)
由于梁AB对称，支座A和B的约束力相等，即${F}_{A}={F}_{B}$。根据平衡条件，可以求解出${F}_{A}$和${F}_{B}$的值。由于${F}_{A}+{F}_{B}+{F}_{c}=2F$，代入${F}_{c}=\dfrac {11F}{8}$，得到：
${F}_{A}+{F}_{B}=\dfrac {5F}{8}$
由于${F}_{A}={F}_{B}$，所以${F}_{A}={F}_{B}=\dfrac {5F}{16}$ (个)
去C支座，取简支梁AB为基本系统。此时，梁AB在C点处的挠度为零，即${\omega }_{c}=0$。
步骤 2：计算挠度
根据挠度公式，计算C点处的挠度${\omega }_{c}$。对于简支梁AB，C点处的挠度由两部分组成：一部分是由于支座A和B的约束力${F}_{A}$和${F}_{B}$引起的，另一部分是由于外力F引起的。具体计算如下：
${u}_{a}=\dfrac {{F}_{a}}{3EI}+\dfrac {F{a}^{2}}{2EI}a-\dfrac {F{(2a)}^{3}}{3EI}=\dfrac {11{Fe}^{3}}{6El}$ (↓)
${\omega }_{c}=\dfrac {{F}_{c}{(4a)}^{3}}{48El}=\dfrac {4{F}_{c}{a}^{3}}{3El}$ (↑)
步骤 3：求解支座约束力
由${\omega }_{c}=0$，可以求解出支座C的约束力${F}_{c}$。将${\omega }_{c}$的表达式代入${\omega }_{c}=0$，得到：
$\dfrac {4{F}_{c}{a}^{3}}{3El}=\dfrac {11{Fe}^{3}}{6El}$
解得：${F}_{c}=\dfrac {11F}{8}$ (↑)
由于梁AB对称，支座A和B的约束力相等，即${F}_{A}={F}_{B}$。根据平衡条件，可以求解出${F}_{A}$和${F}_{B}$的值。由于${F}_{A}+{F}_{B}+{F}_{c}=2F$，代入${F}_{c}=\dfrac {11F}{8}$，得到：
${F}_{A}+{F}_{B}=\dfrac {5F}{8}$
由于${F}_{A}={F}_{B}$，所以${F}_{A}={F}_{B}=\dfrac {5F}{16}$ (个)