题目
化三重积分 =iint f(x,y,z)dxdydz 为三次积分,其中积分区域Ω分别是:-|||-(3)由曲面 =(x)^2+2(y)^2 及 =2-(x)^2 所围成的闭区域;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域Ω的边界
由曲面 $z={x}^{2}+2{y}^{2}$ 和 $z=2-{x}^{2}$ 所围成的闭区域Ω，首先需要确定这两个曲面的交线。将两个曲面方程联立，得到：
${x}^{2}+2{y}^{2}=2-{x}^{2}$
$2{x}^{2}+2{y}^{2}=2$
${x}^{2}+{y}^{2}=1$
这表明Ω在xOy面上的投影区域为圆 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1$。
步骤 2：确定积分区域Ω的上下限
对于给定的x和y，z的取值范围由两个曲面确定，即：
${x}^{2}+2{y}^{2}\leqslant z\leqslant 2-{x}^{2}$
步骤 3：将三重积分化为三次积分
根据上述分析，三重积分 $I=If(x,y,z)dxdydz$ 可以化为三次积分，积分区域Ω在xOy面上的投影区域为圆 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1$，因此：
$I={\int }_{-1}^{1}{\int }_{-\sqrt{1-{x}^{2}}}^{\sqrt{1-{x}^{2}}}{\int }_{{x}^{2}+2{y}^{2}}^{2-{x}^{2}}f(x,y,z)dzdydx$
由曲面 $z={x}^{2}+2{y}^{2}$ 和 $z=2-{x}^{2}$ 所围成的闭区域Ω，首先需要确定这两个曲面的交线。将两个曲面方程联立，得到：
${x}^{2}+2{y}^{2}=2-{x}^{2}$
$2{x}^{2}+2{y}^{2}=2$
${x}^{2}+{y}^{2}=1$
这表明Ω在xOy面上的投影区域为圆 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1$。
步骤 2：确定积分区域Ω的上下限
对于给定的x和y，z的取值范围由两个曲面确定，即：
${x}^{2}+2{y}^{2}\leqslant z\leqslant 2-{x}^{2}$
步骤 3：将三重积分化为三次积分
根据上述分析，三重积分 $I=If(x,y,z)dxdydz$ 可以化为三次积分，积分区域Ω在xOy面上的投影区域为圆 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1$，因此：
$I={\int }_{-1}^{1}{\int }_{-\sqrt{1-{x}^{2}}}^{\sqrt{1-{x}^{2}}}{\int }_{{x}^{2}+2{y}^{2}}^{2-{x}^{2}}f(x,y,z)dzdydx$