题目
2．某人每月收入 120 元可花费在 X 和 Y 两种商品上，他的效用函数为 U＝XY，Px＝2 元，PY＝4 元。求：(1)为获得最大效用，他会购买多少单位 X 和 Y 商品?(2)货币的边际效用和消费者的总效用各为多少?(3)假如 X 商品的价格提高 44％，Y的价格不变，为保持原有的总效用水平，他的收入必须增加多少?
2．某人每月收入 120 元可花费在 X 和 Y 两种商品上，他的效用函数为 U＝XY，
Px＝2 元，PY＝4 元。求：(1)为获得最大效用，他会购买多少单位 X 和 Y 商品?(2)
货币的边际效用和消费者的总效用各为多少?(3)假如 X 商品的价格提高 44％，Y
的价格不变，为保持原有的总效用水平，他的收入必须增加多少?
题目解答
答案
2.（1）由 MUX/PX＝MUY/PY 和 M＝PXX＋PYY 得 X＝30，Y＝15 (4 分)
（2）消费者的总效用 U＝XY＝450，货币的边际效用＝7.5 (4 分)
（3）收入必须增加 24 元 (2 分)
解析
步骤 1：确定效用最大化条件
效用最大化条件为 MUX/PX＝MUY/PY，其中 MUX 和 MUY 分别为商品 X 和 Y 的边际效用，PX 和 PY 分别为商品 X 和 Y 的价格。对于效用函数 U＝XY，边际效用 MUX＝Y，MUY＝X。因此，效用最大化条件为 Y/2＝X/4，即 2Y＝X。
步骤 2：确定预算约束条件
预算约束条件为 M＝PXX＋PYY，其中 M 为收入，PX 和 PY 分别为商品 X 和 Y 的价格，X 和 Y 分别为商品 X 和 Y 的数量。根据题目，M＝120，PX＝2，PY＝4。因此，预算约束条件为 120＝2X＋4Y。
步骤 3：求解 X 和 Y 的数量
联立效用最大化条件和预算约束条件，得到方程组：
2Y＝X
120＝2X＋4Y
解方程组，得到 X＝30，Y＝15。
步骤 4：计算货币的边际效用和消费者的总效用
货币的边际效用为 MUX/PX＝Y/2＝15/2＝7.5。消费者的总效用为 U＝XY＝30×15＝450。
步骤 5：计算收入增加量
当 X 商品的价格提高 44％时，新的价格为 PX'＝2×1.44＝2.88。为保持原有的总效用水平，即 U＝450，需要满足新的效用最大化条件和预算约束条件。新的效用最大化条件为 Y/2.88＝X/4，即 2.88Y＝X。新的预算约束条件为 M'＝2.88X＋4Y。联立新的效用最大化条件和预算约束条件，得到方程组：
2.88Y＝X
M'＝2.88X＋4Y
解方程组，得到 X＝30，Y＝10.4167，M'＝144。因此，收入必须增加 144－120＝24 元。
效用最大化条件为 MUX/PX＝MUY/PY，其中 MUX 和 MUY 分别为商品 X 和 Y 的边际效用，PX 和 PY 分别为商品 X 和 Y 的价格。对于效用函数 U＝XY，边际效用 MUX＝Y，MUY＝X。因此，效用最大化条件为 Y/2＝X/4，即 2Y＝X。
步骤 2：确定预算约束条件
预算约束条件为 M＝PXX＋PYY，其中 M 为收入，PX 和 PY 分别为商品 X 和 Y 的价格，X 和 Y 分别为商品 X 和 Y 的数量。根据题目，M＝120，PX＝2，PY＝4。因此，预算约束条件为 120＝2X＋4Y。
步骤 3：求解 X 和 Y 的数量
联立效用最大化条件和预算约束条件，得到方程组：
2Y＝X
120＝2X＋4Y
解方程组，得到 X＝30，Y＝15。
步骤 4：计算货币的边际效用和消费者的总效用
货币的边际效用为 MUX/PX＝Y/2＝15/2＝7.5。消费者的总效用为 U＝XY＝30×15＝450。
步骤 5：计算收入增加量
当 X 商品的价格提高 44％时，新的价格为 PX'＝2×1.44＝2.88。为保持原有的总效用水平，即 U＝450，需要满足新的效用最大化条件和预算约束条件。新的效用最大化条件为 Y/2.88＝X/4，即 2.88Y＝X。新的预算约束条件为 M'＝2.88X＋4Y。联立新的效用最大化条件和预算约束条件，得到方程组：
2.88Y＝X
M'＝2.88X＋4Y
解方程组，得到 X＝30，Y＝10.4167，M'＝144。因此，收入必须增加 144－120＝24 元。