题目
8.求曲线3x^2+10xy+7y^2+4x+2y+1=0的渐近线.[图片]
8.求曲线3x$^{2}+10xy+7y^{2}+4x+2y+1=0$的渐近线.
[图片]
题目解答
答案
1. **求中心**：解方程组 $F_x' = 6x + 10y + 4 = 0$ 和 $F_y' = 10x + 14y + 2 = 0$，得中心 $\left( \frac{9}{4}, -\frac{7}{4} \right)$。
2. **求渐近方向**：解二次方程 $3X^2 + 10XY + 7Y^2 = 0$，得方向 $X:Y = 7:-3$ 和 $X:Y = 1:-1$。
3. **求渐近线**：
- 对于方向 $7:-3$，方程为 $6x + 14y + 11 = 0$。
- 对于方向 $1:-1$，方程为 $2x + 2y - 1 = 0$。
**答案**：
\[
\boxed{6x + 14y + 11 = 0 \text{ 和 } 2x + 2y - 1 = 0}
\]
解析
步骤 1：求中心
首先，我们需要找到曲线的中心。为此，我们对给定的方程 $3x^2 + 10xy + 7y^2 + 4x + 2y + 1 = 0$ 分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导数，得到两个方程：
\[ F_x' = 6x + 10y + 4 = 0 \]
\[ F_y' = 10x + 14y + 2 = 0 \]
解这个方程组，我们得到中心的坐标 $(x_0, y_0)$。解方程组，我们得到：
\[ 6x + 10y + 4 = 0 \]
\[ 10x + 14y + 2 = 0 \]
通过消元法，我们可以解得 $x_0 = \frac{9}{4}$ 和 $y_0 = -\frac{7}{4}$。因此，中心为 $\left( \frac{9}{4}, -\frac{7}{4} \right)$。
步骤 2：求渐近方向
接下来，我们需要找到渐近线的方向。为此，我们考虑二次项 $3X^2 + 10XY + 7Y^2 = 0$，其中 $X = x - x_0$ 和 $Y = y - y_0$。解这个二次方程，我们得到两个方向 $X:Y = 7:-3$ 和 $X:Y = 1:-1$。
步骤 3：求渐近线
最后，我们需要找到渐近线的方程。对于方向 $7:-3$，我们有 $6x + 14y + 11 = 0$。对于方向 $1:-1$，我们有 $2x + 2y - 1 = 0$。
首先，我们需要找到曲线的中心。为此，我们对给定的方程 $3x^2 + 10xy + 7y^2 + 4x + 2y + 1 = 0$ 分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导数，得到两个方程：
\[ F_x' = 6x + 10y + 4 = 0 \]
\[ F_y' = 10x + 14y + 2 = 0 \]
解这个方程组，我们得到中心的坐标 $(x_0, y_0)$。解方程组，我们得到：
\[ 6x + 10y + 4 = 0 \]
\[ 10x + 14y + 2 = 0 \]
通过消元法，我们可以解得 $x_0 = \frac{9}{4}$ 和 $y_0 = -\frac{7}{4}$。因此，中心为 $\left( \frac{9}{4}, -\frac{7}{4} \right)$。
步骤 2：求渐近方向
接下来，我们需要找到渐近线的方向。为此，我们考虑二次项 $3X^2 + 10XY + 7Y^2 = 0$，其中 $X = x - x_0$ 和 $Y = y - y_0$。解这个二次方程，我们得到两个方向 $X:Y = 7:-3$ 和 $X:Y = 1:-1$。
步骤 3：求渐近线
最后，我们需要找到渐近线的方程。对于方向 $7:-3$，我们有 $6x + 14y + 11 = 0$。对于方向 $1:-1$，我们有 $2x + 2y - 1 = 0$。