题目
如图所示,立柱CD为高 =3.5m, 横截面外径 =100mm, 内径 d=80mm 的空-|||-心圆管,材料为Q235钢,其比例极限为 (sigma )_(P)=200MPa, 屈服极限为 (sigma )_(s)=240MPa, 弹性-|||-模量 =2times (10)^5MPa, 设计要求的强度安全系数 =2, 稳定性安全系数 _(st)=3 试确定-|||-许用荷载[P]。-|||-P-|||-A-|||-2m C B-|||-3m-|||-h=3.5m-|||-D-|||-按立柱CD的稳定性条件确定的许用荷载[P]为 () 。A.如图所示,立柱CD为高 =3.5m, 横截面外径 =100mm, 内径 d=80mm 的空-|||-心圆管,材料为Q235钢,其比例极限为 (sigma )_(P)=200MPa, 屈服极限为 (sigma )_(s)=240MPa, 弹性-|||-模量 =2times (10)^5MPa, 设计要求的强度安全系数 =2, 稳定性安全系数 _(st)=3 试确定-|||-许用荷载[P]。-|||-P-|||-A-|||-2m C B-|||-3m-|||-h=3.5m-|||-D-|||-按立柱CD的稳定性条件确定的许用荷载[P]为 () 。B.如图所示,立柱CD为高 =3.5m, 横截面外径 =100mm, 内径 d=80mm 的空-|||-心圆管,材料为Q235钢,其比例极限为 (sigma )_(P)=200MPa, 屈服极限为 (sigma )_(s)=240MPa, 弹性-|||-模量 =2times (10)^5MPa, 设计要求的强度安全系数 =2, 稳定性安全系数 _(st)=3 试确定-|||-许用荷载[P]。-|||-P-|||-A-|||-2m C B-|||-3m-|||-h=3.5m-|||-D-|||-按立柱CD的稳定性条件确定的许用荷载[P]为 () 。C.如图所示,立柱CD为高 =3.5m, 横截面外径 =100mm, 内径 d=80mm 的空-|||-心圆管,材料为Q235钢,其比例极限为 (sigma )_(P)=200MPa, 屈服极限为 (sigma )_(s)=240MPa, 弹性-|||-模量 =2times (10)^5MPa, 设计要求的强度安全系数 =2, 稳定性安全系数 _(st)=3 试确定-|||-许用荷载[P]。-|||-P-|||-A-|||-2m C B-|||-3m-|||-h=3.5m-|||-D-|||-按立柱CD的稳定性条件确定的许用荷载[P]为 () 。D.如图所示,立柱CD为高 =3.5m, 横截面外径 =100mm, 内径 d=80mm 的空-|||-心圆管,材料为Q235钢,其比例极限为 (sigma )_(P)=200MPa, 屈服极限为 (sigma )_(s)=240MPa, 弹性-|||-模量 =2times (10)^5MPa, 设计要求的强度安全系数 =2, 稳定性安全系数 _(st)=3 试确定-|||-许用荷载[P]。-|||-P-|||-A-|||-2m C B-|||-3m-|||-h=3.5m-|||-D-|||-按立柱CD的稳定性条件确定的许用荷载[P]为 () 。
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
D
解析
步骤 1：计算立柱CD的截面惯性矩
立柱CD为一个空心圆管，其外径为D=100mm，内径为d=80mm。空心圆管的截面惯性矩I可以通过以下公式计算：
\[ I = \frac{\pi}{64} \left( D^4 - d^4 \right) \]
代入D和d的值，得到：
\[ I = \frac{\pi}{64} \left( 100^4 - 80^4 \right) = \frac{\pi}{64} \left( 100000000 - 40960000 \right) = \frac{\pi}{64} \times 59040000 \]
\[ I = 29520000 \times \frac{\pi}{64} = 1476000 \times \frac{\pi}{32} = 1476000 \times 0.09817 = 144997.32 \, mm^4 \]
步骤 2：计算立柱CD的临界应力
立柱CD的临界应力 ${\sigma }_{cr}$ 可以通过以下公式计算：
\[ {\sigma }_{cr} = \frac{{\pi }^{2}E}{\left( \frac{h}{r} \right)^{2}} \]
其中，E为弹性模量，h为立柱的高度，r为立柱的半径。立柱的半径r可以通过以下公式计算：
\[ r = \sqrt{\frac{I}{A}} \]
其中，A为立柱的截面面积，可以通过以下公式计算：
\[ A = \pi \left( \frac{D^2 - d^2}{4} \right) = \pi \left( \frac{100^2 - 80^2}{4} \right) = \pi \left( \frac{10000 - 6400}{4} \right) = \pi \times 900 = 2827.43 \, mm^2 \]
代入I和A的值，得到：
\[ r = \sqrt{\frac{144997.32}{2827.43}} = \sqrt{51.28} = 7.16 \, mm \]
代入E、h和r的值，得到：
\[ {\sigma }_{cr} = \frac{{\pi }^{2} \times 2 \times {10}^{5}}{\left( \frac{3500}{7.16} \right)^{2}} = \frac{19.74 \times {10}^{5}}{2285.71} = 86.37 \, MPa \]
步骤 3：计算许用荷载[P]
许用荷载[P]可以通过以下公式计算：
\[ [P] = \frac{{\sigma }_{cr} \times A}{{n}_{st}} \]
代入 ${\sigma }_{cr}$ 、A和 ${n}_{st}$ 的值，得到：
\[ [P] = \frac{86.37 \times 2827.43}{3} = \frac{244167.75}{3} = 81389.25 \, N = 81.39 \, kN \]
立柱CD为一个空心圆管，其外径为D=100mm，内径为d=80mm。空心圆管的截面惯性矩I可以通过以下公式计算：
\[ I = \frac{\pi}{64} \left( D^4 - d^4 \right) \]
代入D和d的值，得到：
\[ I = \frac{\pi}{64} \left( 100^4 - 80^4 \right) = \frac{\pi}{64} \left( 100000000 - 40960000 \right) = \frac{\pi}{64} \times 59040000 \]
\[ I = 29520000 \times \frac{\pi}{64} = 1476000 \times \frac{\pi}{32} = 1476000 \times 0.09817 = 144997.32 \, mm^4 \]
步骤 2：计算立柱CD的临界应力
立柱CD的临界应力 ${\sigma }_{cr}$ 可以通过以下公式计算：
\[ {\sigma }_{cr} = \frac{{\pi }^{2}E}{\left( \frac{h}{r} \right)^{2}} \]
其中，E为弹性模量，h为立柱的高度，r为立柱的半径。立柱的半径r可以通过以下公式计算：
\[ r = \sqrt{\frac{I}{A}} \]
其中，A为立柱的截面面积，可以通过以下公式计算：
\[ A = \pi \left( \frac{D^2 - d^2}{4} \right) = \pi \left( \frac{100^2 - 80^2}{4} \right) = \pi \left( \frac{10000 - 6400}{4} \right) = \pi \times 900 = 2827.43 \, mm^2 \]
代入I和A的值，得到：
\[ r = \sqrt{\frac{144997.32}{2827.43}} = \sqrt{51.28} = 7.16 \, mm \]
代入E、h和r的值，得到：
\[ {\sigma }_{cr} = \frac{{\pi }^{2} \times 2 \times {10}^{5}}{\left( \frac{3500}{7.16} \right)^{2}} = \frac{19.74 \times {10}^{5}}{2285.71} = 86.37 \, MPa \]
步骤 3：计算许用荷载[P]
许用荷载[P]可以通过以下公式计算：
\[ [P] = \frac{{\sigma }_{cr} \times A}{{n}_{st}} \]
代入 ${\sigma }_{cr}$ 、A和 ${n}_{st}$ 的值，得到：
\[ [P] = \frac{86.37 \times 2827.43}{3} = \frac{244167.75}{3} = 81389.25 \, N = 81.39 \, kN \]