题目
10.设超市经销的某种商品,每周的需求量X(单位:件)在[31,50]中等可能取值.趋巾母印昏一什以问-|||-品可获利100元,若供大于求,则削价处理,每处理一件商品亏损20元;若供不应求,则可以另外调-|||-货,此时一件商品可获利60元.试问,每周周初进货量为多少件时,才能使得一周内超市销售该商品-|||-获得的平均利润达到最大?
题目解答
答案
本题考查随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查考生的运算求解能力、数据处理能力,考查应用意识、创新意识.
设每周周初进货量为n件,超市一周内销售该商品获得的利润为Y元,则
Y=$\left \{ \begin{matrix} 100x-20(n-x),x\in [ 31,n-1] ,\\ 100n+60(x-n),x\in [ n+1,50] \right.$
即Y=$\left \{ \begin{matrix} 120x-20n,x\in [ 31,n-1] ,\\ 40x+40n,x\in [ n+1,50] \right.$
所以E(Y)=$\dfrac {1}{20}{\int }_{31}^{n-1}$(120x-20n)dx+$\dfrac {1}{20}{\int }_{n}^{50}$(40x+40n)dx
$=6x^{2}-nx|\dfrac {n-1}{31}$$+(2x^{2}+2nx)|\dfrac {50}{n}$
=-$\dfrac {1}{20}n^{2}+8n+1020$
=-$\dfrac {1}{20}(n-80)^{2}+1660$
因为n∈[31,50],所以当n=50时,E(Y)取得最大值,最大值为1 650元.
故每周周初进货量为50件时,才能使得一周内超市销售该商品获得的平均利润达到最大.
解析
步骤 1：定义随机变量和利润函数
设每周周初进货量为n件，超市一周内销售该商品获得的利润为Y元。根据题意，利润函数Y可以分为两种情况：
- 当需求量x小于等于n时，利润为100x-20(n-x)。
- 当需求量x大于n时，利润为100n+60(x-n)。
步骤 2：利润函数的表达式
根据步骤1，利润函数Y可以表示为：
\[ Y = \begin{cases}
120x - 20n, & \text{if } x \in [31, n-1] \\
40x + 40n, & \text{if } x \in [n+1, 50]
\end{cases} \]
步骤 3：计算期望利润
需求量X在[31,50]中等可能取值，因此X的分布是均匀分布。期望利润E(Y)可以通过对利润函数Y在[31,50]区间上积分来计算：
\[ E(Y) = \frac{1}{20} \int_{31}^{n-1} (120x - 20n) \, dx + \frac{1}{20} \int_{n}^{50} (40x + 40n) \, dx \]
步骤 4：计算积分
计算两个积分：
\[ \int_{31}^{n-1} (120x - 20n) \, dx = 60x^2 - 20nx \bigg|_{31}^{n-1} = 60(n-1)^2 - 20n(n-1) - 60(31)^2 + 20n(31) \]
\[ \int_{n}^{50} (40x + 40n) \, dx = 20x^2 + 40nx \bigg|_{n}^{50} = 20(50)^2 + 40n(50) - 20n^2 - 40n^2 \]
步骤 5：简化期望利润表达式
将步骤4的结果代入E(Y)的表达式中，简化得到：
\[ E(Y) = -\frac{1}{20}n^2 + 8n + 1020 \]
步骤 6：求最大值
E(Y)是一个关于n的二次函数，开口向下，其最大值在顶点处取得。顶点的横坐标为n=80，但由于n的取值范围是[31,50]，所以最大值在n=50时取得。
设每周周初进货量为n件，超市一周内销售该商品获得的利润为Y元。根据题意，利润函数Y可以分为两种情况：
- 当需求量x小于等于n时，利润为100x-20(n-x)。
- 当需求量x大于n时，利润为100n+60(x-n)。
步骤 2：利润函数的表达式
根据步骤1，利润函数Y可以表示为：
\[ Y = \begin{cases}
120x - 20n, & \text{if } x \in [31, n-1] \\
40x + 40n, & \text{if } x \in [n+1, 50]
\end{cases} \]
步骤 3：计算期望利润
需求量X在[31,50]中等可能取值，因此X的分布是均匀分布。期望利润E(Y)可以通过对利润函数Y在[31,50]区间上积分来计算：
\[ E(Y) = \frac{1}{20} \int_{31}^{n-1} (120x - 20n) \, dx + \frac{1}{20} \int_{n}^{50} (40x + 40n) \, dx \]
步骤 4：计算积分
计算两个积分：
\[ \int_{31}^{n-1} (120x - 20n) \, dx = 60x^2 - 20nx \bigg|_{31}^{n-1} = 60(n-1)^2 - 20n(n-1) - 60(31)^2 + 20n(31) \]
\[ \int_{n}^{50} (40x + 40n) \, dx = 20x^2 + 40nx \bigg|_{n}^{50} = 20(50)^2 + 40n(50) - 20n^2 - 40n^2 \]
步骤 5：简化期望利润表达式
将步骤4的结果代入E(Y)的表达式中，简化得到：
\[ E(Y) = -\frac{1}{20}n^2 + 8n + 1020 \]
步骤 6：求最大值
E(Y)是一个关于n的二次函数，开口向下，其最大值在顶点处取得。顶点的横坐标为n=80，但由于n的取值范围是[31,50]，所以最大值在n=50时取得。