假设某种商品的需求函数和供给函数为 Q D =14-3P Q S =2+6P ( 1 )求该商品的均衡价格和均衡产销量 ( 2 )求该商品供求均衡时的需求价格弹性和供给弹性。

考查要点：本题主要考查市场均衡价格与产销量的计算，以及需求价格弹性和供给价格弹性的求解方法。

解题核心思路：

1. 均衡条件：需求量等于供给量（$Q_D = Q_S$），通过联立方程求解均衡价格$P$和均衡产销量$Q$。
2. 价格弹性公式：需求价格弹性$E_d = \frac{dQ_D}{dP} \cdot \frac{P}{Q_D}$，供给价格弹性$E_S = \frac{dQ_S}{dP} \cdot \frac{P}{Q_S}$，需代入均衡时的$P$和$Q$值计算。

破题关键点：

• 联立方程求解：将需求函数和供给函数设为相等，解出均衡价格。
• 导数计算：分别对需求函数和供给函数求导，得到价格变化对数量的影响程度。
• 代入计算弹性：注意公式中$\frac{P}{Q}$的比值需用均衡时的具体数值。

第（1）题：求均衡价格和均衡产销量

建立均衡方程

根据均衡条件$Q_D = Q_S$，联立：
$14 - 3P = 2 + 6P$

解方程求均衡价格

整理方程：
$14 - 2 = 6P + 3P \implies 12 = 9P \implies P = \frac{4}{3}$

求均衡产销量

将$P = \frac{4}{3}$代入任一函数（例如$Q_D$）：
$Q_D = 14 - 3 \cdot \frac{4}{3} = 14 - 4 = 10$
因此，均衡产销量为$Q = 10$。

第（2）题：求均衡时的需求价格弹性和供给弹性

需求价格弹性计算

1. 求导数：$\frac{dQ_D}{dP} = -3$。
2. 代入公式：
   $E_d = \frac{dQ_D}{dP} \cdot \frac{P}{Q_D} = -3 \cdot \frac{\frac{4}{3}}{10} = -3 \cdot \frac{4}{30} = -\frac{12}{30} = -\frac{2}{5}$
   取绝对值：$|E_d| = \frac{2}{5}$。

供给价格弹性计算

1. 求导数：$\frac{dQ_S}{dP} = 6$。
2. 代入公式：
   $E_S = \frac{dQ_S}{dP} \cdot \frac{P}{Q_S} = 6 \cdot \frac{\frac{4}{3}}{10} = 6 \cdot \frac{4}{30} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5}$