7.设生产某种产品的产量是劳动力x和原料y的函数 (x,y)=60(x)^3/4(y)^1/4, 若劳动力-|||-单价为100元,原料单价为200元,则在投入3万元资金用于生产的情况下,如何安排劳动力-|||-和原料,可使产量最多?

考查要点：本题主要考查条件极值问题的求解方法，特别是利用拉格朗日乘数法在预算约束下寻找产量最大化的最优投入组合。

解题核心思路：

1. 构造拉格朗日函数，将目标函数（产量）与约束条件（资金预算）结合。
2. 求偏导并解方程组，找到可能的极值点。
3. 验证解的合理性，确保满足实际意义和约束条件。

破题关键点：

• 正确建立拉格朗日函数，注意约束条件的符号。
• 消去拉格朗日乘数λ，得到变量间的关系式。
• 代入预算约束，解出具体数值。

构造拉格朗日函数
目标函数为产量 $f(x,y)=60x^{3/4}y^{1/4}$，约束条件为 $100x + 200y = 30000$，构造：
$F(x,y,\lambda) = 60x^{3/4}y^{1/4} + \lambda(100x + 200y - 30000)$

求偏导并建立方程组
对 $x$、$y$、$\lambda$ 求偏导并令其为零：

1. $\frac{\partial F}{\partial x} = 45x^{-1/4}y^{1/4} + 100\lambda = 0$
2. $\frac{\partial F}{\partial y} = 15x^{3/4}y^{-3/4} + 200\lambda = 0$
3. $\frac{\partial F}{\partial \lambda} = 100x + 200y - 30000 = 0$

消去$\lambda$，求变量关系
由前两式消去$\lambda$：
$\frac{45x^{-1/4}y^{1/4}}{100} = \frac{15x^{3/4}y^{-3/4}}{200} \implies 6y = x \implies y = \frac{x}{6}$

代入约束条件求解
将 $y = \frac{x}{6}$ 代入 $100x + 200y = 30000$：
$100x + 200 \cdot \frac{x}{6} = 30000 \implies x = 225, \quad y = \frac{225}{6} = 37.5$

验证解的合理性
检查总支出：$100 \times 225 + 200 \times 37.5 = 30000$，符合预算。