题目
设随机变量X~N(2,1),用切比雪夫不等式估计P( |X-2| <3)≥ ___.
设随机变量X~N(2,1),用切比雪夫不等式估计P{ |X-2| <3}≥ ___.
题目解答
答案
已知随机变量X~N(2, 1)，即X服从均值为2，方差为1的正态分布。
首先，我们需要计算k的值，使得 
。
在本题中，k = 3，所以我们需要估计 P{|X - 2| < 3} 的下界。
根据切比雪夫不等式，有
其中μ是均值，σ是标准差。
将 μ = 2，σ= 1，k = 3 代入不等式，得
故答案为:
解析
步骤 1：确定随机变量的分布参数
随机变量X服从均值为2，方差为1的正态分布，即X~N(2,1)。因此，均值μ=2，方差σ^2=1，标准差σ=√1=1。
步骤 2：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式指出，对于任意随机变量X，其均值为μ，方差为σ^2，对于任意正数k，有
\[ P(|X - μ| \geq kσ) \leq \frac{1}{k^2} \]
因此，对于任意正数k，有
\[ P(|X - μ| < kσ) \geq 1 - \frac{1}{k^2} \]
步骤 3：计算P{ |X-2| <3}的下界
在本题中，k=3，μ=2，σ=1。将这些值代入切比雪夫不等式，得到
\[ P(|X - 2| < 3) \geq 1 - \frac{1}{3^2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \]
随机变量X服从均值为2，方差为1的正态分布，即X~N(2,1)。因此，均值μ=2，方差σ^2=1，标准差σ=√1=1。
步骤 2：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式指出，对于任意随机变量X，其均值为μ，方差为σ^2，对于任意正数k，有
\[ P(|X - μ| \geq kσ) \leq \frac{1}{k^2} \]
因此，对于任意正数k，有
\[ P(|X - μ| < kσ) \geq 1 - \frac{1}{k^2} \]
步骤 3：计算P{ |X-2| <3}的下界
在本题中，k=3，μ=2，σ=1。将这些值代入切比雪夫不等式，得到
\[ P(|X - 2| < 3) \geq 1 - \frac{1}{3^2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \]