题目

19. (10.0分) 某人每年年末存入银行100元，若年利率为10%，问第5年年末可以从银行一次性取出多少钱?

题目解答

答案

题目分析

题目要求计算第 5 年年末可以从银行一次性取出的总金额。已知条件是：

每年年末存入 100 元（即等额年金）。
年利率为 10%。
存入期限为 5 年（第 1 年年末到第 5 年年末，共 5 次）。

我们需要计算的是这系列存款在第 5 年年末的终值（未来价值）。

计算过程

根据年金终值公式：

$FV = PMT \times \frac{(1 + r)^n - 1}{r}$

其中：

$PMT = 100$ 元（每年存入金额）
$r = 10\% = 0.10$（年利率）
$n = 5$（年数）

1. 计算复利系数 $(1 + r)^n$

$(1 + 0.10)^5 = 1.1^5 = 1.61051$

2. 代入公式计算

$FV = 100 \times \frac{1.61051 - 1}{0.10}$

$FV = 100 \times \frac{0.61051}{0.10}$

$FV = 100 \times 6.1051 = 610.51 \text{（元）}$

结论

第 5 年年末可以从银行一次性取出的金额为 610.51 元。

解析

本题考查的是年金终值的计算。解题思路是根据已知的每年年末等额存入的金额（年金）、年利率以及存款年限，利用年金终值公式来计算第5年年末可以从银行一次性取出的总金额。

年金终值是指一定时期内，每期期末等额收入或支出的本利和，也就是将每一期的金额，按复利换算到最后一期期末的终值，然后加总，就是该年金终值。其计算公式为$FV = PMT \times \frac{(1 + r)^n - 1}{r}$，其中$FV$表示年金终值，$PMT$表示每期的等额金额，$r$表示年利率，$n$表示期数。

下面我们来逐步计算：

首先明确题目中的已知条件：
- 每年年末存入金额$PMT = 100$元；
- 年利率$r = 10\%=0.10$；
- 存款年限$n = 5$年。
计算$(1 + r)^n$的值：
- 将$r = 0.10$，$n = 5$代入$(1 + r)^n$，可得$(1 + 0.10)^5=1.1^5$。
- 根据指数运算法则计算$1.1^5 = 1.1\times1.1\times1.1\times1.1\times1.1 = 1.61051$。
然后将$PMT = 100$，$r = 0.10$，$(1 + r)^n = 1.61051$代入年金终值公式$FV = PMT \times \frac{(1 + r)^n - 1}{r}$进行计算：
- 先计算分子$(1 + r)^n - 1$的值，即$1.61051 - 1 = 0.61051$。
- 再计算$\frac{(1 + r)^n - 1}{r}$的值，即$\frac{0.61051}{0.10}=6.1051$。
- 最后计算$FV$的值，$FV = 100\times6.1051 = 610.51$元。