题目

2(20分).平面构架受力如图,不计自重, =10kN, =60kNcdot m =20kv/m ,a=4m。-|||-求固定端A及铰链C处的约束反力。-|||-P M q-|||-B C-|||-D-|||-2a-|||-A-|||-a a a

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查静力学中平面刚架的约束反力计算，涉及分布载荷、力偶矩及多物体平衡问题的分析。

解题核心思路：

  1. 分步隔离分析：先以受力简单的CD杆为研究对象，利用平衡方程求解C点的约束力；再以整体或AB杆为研究对象，结合已知条件求解A点的约束反力。
  2. 分布载荷处理：将分布载荷转化为集中力，注意其作用位置。
  3. 力偶矩的独立性：力偶矩需单独平衡，不能与其他力直接叠加。

破题关键点：

  • 正确选择研究对象：优先选择受力简单、未知力少的杆件（如CD杆）。
  • 平衡方程的建立：确保所有外力、力偶矩均被考虑，注意方向和符号。

第（1）步：分析CD杆的约束力

研究对象：CD杆

  • 分布载荷转化为集中力：总载荷 $F_q = q \cdot a = 20 \, \text{kN/m} \cdot 4 \, \text{m} = 80 \, \text{kN}$，作用于CD中点。
  • 受力分析：CD杆受C点约束力 $F_C$、D点约束力 $F_D$ 和载荷 $F_q$。
  • 平衡方程：
    • 沿CD方向（假设CD水平）：$\sum F_x = F_C - F_D = 0 \Rightarrow F_C = F_D$。
    • 垂直方向：$\sum F_y = F_q - F_C - F_D = 0$，代入 $F_D = F_C$ 得 $80 = 2F_C \Rightarrow F_C = 40 \, \text{kN}$，故 $F_D = 40 \, \text{kN}$。

第（2）步：分析整体或AB杆的约束力

研究对象：整体结构（含AB、BC、CD杆）

  • 已知力：$P=10 \, \text{kN}$，$M=60 \, \text{kN·m}$，$F_C=40 \, \text{kN}$。
  • 受力分析：A点有水平反力 $F_{Ax}$、竖向反力 $F_{Ay}$ 和力偶矩 $M_A$。
  • 平衡方程：
    • 水平方向：$\sum F_x = F_{Ax} - F_C = 0 \Rightarrow F_{Ax} = 40 \, \text{kN}$。
    • 竖向方向：$\sum F_y = F_{Ay} - P - F_q = 0 \Rightarrow F_{Ay} = 10 + 80 = 90 \, \text{kN}$。
    • 力偶矩平衡：$\sum M_A = M + P \cdot a + F_q \cdot a - F_C \cdot 2a = 0$，代入数据：
      $60 + 10 \cdot 4 + 80 \cdot 4 - 40 \cdot 8 = M_A \\ M_A = 60 + 40 + 320 - 320 = 100 \, \text{kN·m}$