题目

(8) lim _(xarrow dfrac {pi )(2)}dfrac (tan x)(tan 3x)

题目解答

答案

解析

本题考查的是函数极限的计算，解题思路是利用三角函数的性质以及洛必达法则来求解极限。

  1. 首先，当$x\rightarrow\frac{\pi}{2}$时，$\tan x\rightarrow\infty$，$\tan 3x\rightarrow\infty$，此时原式$\lim _{x\rightarrow \frac {\pi }{2}}\dfrac {\tan x}{\tan 3x}$是$\frac{\infty}{\infty}$型的极限。
  2. 根据三角函数的关系$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，将原式变形为$\lim _{x\rightarrow \frac {\pi }{2}}\dfrac {\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\sin 3x}{\cos 3x}}=\lim _{x\rightarrow \frac {\pi }{2}}\dfrac{\sin x\cos 3x}{\sin 3x\cos x}$。
  3. 此时，当$x\rightarrow\frac{\pi}{2}$时，$\sin x\rightarrow 1$，$\sin 3x\rightarrow 1$，$\cos x\rightarrow 0$，$\cos 3x\rightarrow 0$，我们可以使用洛必达法则，对分子分母分别求导。
    • 对分子$\sin x\cos 3x$求导，根据乘积求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，可得$(\sin x\cos 3x)^\prime=\cos x\cos 3x - 3\sin x\sin 3x$。
    • 对分母$\sin 3x\cos x$求导，可得$(\sin 3x\cos x)^\prime = 3\cos 3x\cos x - \sin 3x\sin x$。
    • 则$\lim _{x\rightarrow \frac {\pi }{2}}\dfrac{\cos x\cos 3x - 3\sin x\sin 3x}{3\cos 3x\cos x - \sin 3x\sin x}$。
    • 当$x\rightarrow\frac{\pi}{2}$时，$\cos x\rightarrow 0$，$\cos 3x\rightarrow 0$，$\sin x\rightarrow 1$，$\sin 3x\rightrightarrow 1$，代入可得$\lim _{x\rightarrow \frac {\pi }{2}}\dfrac{0 - 3\times1\times1}{3\times0\times0 - 1\times1}=\lim _{x\rightarrow \frac {\pi }{2}}\dfrac{-3}{-1}=3$。