已知某企业的生产函数为Q=L 2/3 K 1/3 ，劳动的价格w=2，资本的价格r=1。 求： （1）当成本C=3000时，企业实现最大产量时的L、K和Q的均衡值。 （2）当产量Q=800时，企业实现最小成本时的L、K和C的均衡值。

考查要点：本题主要考查生产函数的优化应用，涉及成本固定下的产量最大化和产量固定下的成本最小化两种情况，需运用边际技术替代率（MRTS）与要素价格比的关系求解。

解题核心思路：

1. 确定最优要素组合比例：通过比较劳动边际产量（MPL）与资本边际产量（MPK）的比值（即MRTS），使其等于要素价格比（w/r），得到L与K的关系。
2. 代入约束条件求解：将最优比例代入成本或产量约束方程，解出L和K的具体数值，最终计算Q或C。

破题关键点：

• Cobb-Douglas生产函数的特性：指数之和为1，且要素间存在固定替代比例。
• MRTS = w/r是核心等式，可推导出L与K的明确关系。

第（1）题：成本固定时的产量最大化

步骤1：建立最优条件

生产函数为 $Q = L^{2/3}K^{1/3}$，计算边际产量：
$\text{MPL} = \frac{2}{3}L^{-1/3}K^{1/3}, \quad \text{MPK} = \frac{1}{3}L^{2/3}K^{-2/3}$
根据 MRTS = w/r，即 $\frac{\text{MPL}}{\text{MPK}} = \frac{w}{r}$：
$\frac{\frac{2}{3}L^{-1/3}K^{1/3}}{\frac{1}{3}L^{2/3}K^{-2/3}} = \frac{2}{1} \implies \frac{2K}{L} = 2 \implies K = L$

步骤2：代入预算约束

预算方程为 $2L + K = 3000$，代入 $K = L$：
$2L + L = 3000 \implies L = 1000, \quad K = 1000$

步骤3：计算最大产量

$Q = (1000)^{2/3}(1000)^{1/3} = 1000^{(2/3 + 1/3)} = 1000$

第（2）题：产量固定时的成本最小化

步骤1：建立最优条件

同理，由 MRTS = w/r 得 $K = L$。

步骤2：代入产量约束

生产函数为 $L^{2/3}K^{1/3} = 800$，代入 $K = L$：
$L^{2/3}L^{1/3} = L = 800 \implies L = 800, \quad K = 800$

步骤3：计算最小成本

$C = 2 \times 800 + 800 = 2400$