外伸梁受力如图所示,试画出该梁的剪力图和弯矩图。qa q qa^2-|||-C A D-|||-B-|||-α 2α α

考查要点：本题主要考查外伸梁的剪力图和弯矩图的绘制，涉及静力学平衡方程、截面法的应用，以及内力图的绘制方法。

解题核心思路：

1. 求支座反力：通过整体平衡方程确定支座A和B的反力。
2. 分段计算内力：将梁分为CA、AD、DB三段，利用截面法计算各段的剪力和弯矩。
3. 绘制内力图：根据控制点的内力值，结合载荷类型（均布载荷或无载荷），绘制剪力图和弯矩图。

破题关键点：

• 支座反力的正确计算是后续内力分析的基础。
• 均布载荷段的弯矩图形状为抛物线，需注意极值点的位置。
• 外伸段的处理：DB段无载荷，剪力保持恒定，弯矩线性变化。

1. 求支座反力

取全梁为研究对象，受力如图。设向上的支座反力为$F_A$和$F_B$，均布载荷$q$作用在CA段（长度$\alpha$）和AD段（长度$\alpha$），DB段（长度$2\alpha$）无载荷。

平衡方程：

• 垂直方向平衡：
  $F_A + F_B = q \cdot \alpha + q \cdot \alpha = 2q\alpha$
• 对支座A取矩平衡：
  $F_B \cdot (2\alpha + \alpha) = q \cdot \alpha \cdot \alpha + q \cdot \alpha \cdot (\alpha + \alpha)$
  化简得：
  $F_B = \frac{2q\alpha}{3}, \quad F_A = \frac{7q\alpha}{3}$

2. 分段计算剪力与弯矩

CA段（$0 \leq x \leq \alpha$）

• 剪力：$F_S = F_A - q \cdot x = \frac{7q\alpha}{3} - qx$
• 弯矩：$M = F_A \cdot x - \frac{1}{2} q x^2$

AD段（$\alpha \leq x \leq 2\alpha$）

• 剪力：$F_S = F_A - q \cdot \alpha - q \cdot (x - \alpha) = \frac{4q\alpha}{3} - qx$
• 弯矩：$M = F_A \cdot x - \frac{1}{2} q x^2 - q \cdot \alpha \cdot (x - \alpha)$

DB段（$2\alpha \leq x \leq 3\alpha$）

• 剪力：$F_S = F_B = \frac{2q\alpha}{3}$（无载荷，剪力恒定）
• 弯矩：$M = F_B \cdot (x - 2\alpha)$

3. 绘制内力图

• 剪力图：在距A点$x = \frac{4\alpha}{3}$处，$F_S = 0$，对应弯矩极值。
• 弯矩图：CA段和AD段为抛物线，DB段为直线。