某公共汽车站从上午7时起每15分钟发一班车，即在7:00,7:15,7:30,…有汽车发出，如果乘客到达此汽车站的时间 X 是在7:00 7:30的均匀随机变量，试求乘客在车站等候（1）不到5分钟的概率。（2）超过10分钟的概率。

考查要点：本题主要考查均匀分布的概率计算以及分段函数的应用。关键在于理解乘客到达时间与发车间隔的关系，确定等候时间的表达式，并找到满足条件的时间区间。

解题思路：

1. 时间转换：将发车时间转换为分钟形式（如7:00对应0分钟，7:15对应15分钟），简化计算。
2. 分段讨论：根据乘客到达时间所在的区间（0≤X<15或15≤X<30），分别计算等候时间表达式。
3. 区间求解：根据题目条件（等候时间<5或>10），确定满足条件的X区间，计算其长度之和。
4. 概率计算：用满足条件的总时间除以30分钟（总时间范围），得到概率。

第（1）题：等候时间不到5分钟的概率

确定等候时间表达式

• 当乘客到达时间$X$在$[0,15)$分钟时，下一班车在15分钟发车，等候时间$T=15-X$。
• 当乘客到达时间$X$在$[15,30)$分钟时，下一班车在30分钟发车，等候时间$T=30-X$。

求解$T<5$的条件

1. 第一段区间$[0,15)$：
   $15 - X < 5 \implies X > 10$
   满足条件的区间为$(10,15)$，长度为$5$分钟。

2. 第二段区间$[15,30)$：
   $30 - X < 5 \implies X > 25$
   满足条件的区间为$(25,30)$，长度为$5$分钟。

计算概率

总满足时间为$5 + 5 = 10$分钟，概率为：
$P(T < 5) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \approx 0.33$

第（2）题：等候时间超过10分钟的概率

求解$T>10$的条件

1. 第一段区间$[0,15)$：
   $15 - X > 10 \implies X < 5$
   满足条件的区间为$[0,5)$，长度为$5$分钟。

2. 第二段区间$[15,30)$：
   $30 - X > 10 \implies X < 20$
   满足条件的区间为$[15,20)$，长度为$5$分钟。

计算概率

总满足时间为$5 + 5 = 10$分钟，概率为：
$P(T > 10) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \approx 0.33$