某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为 V 6 ，流入湖泊内不含A的水量为 V 6 ，流出湖泊的水量为 V 3 ．已知1999年年底湖中A的含量为5m 0，超过国家规定指标．为了治理污水，从2000年年初起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过 m0 V ．问至多需经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至m 0以内？（注：设湖水中A的浓度时均匀的．）

步骤 1：建立微分方程
设湖泊内污染物A的含量为m（t），则依题意可得：流入的污染物A含量为
m0
V
•
V
6
dt＝
m0
6
dt，流出的污染物A含量为
m(t)
V
•
V
3
＝
m(t)
3
dt
由于污染物A的含量变化量=流进的量-流出的量，
即 dm(t)＝
m0
6
dt−
m(t)
3
dt
步骤 2：求解微分方程
6dm（t）=[m _0-2m（t）]dt
6
m0−2m(t)
dm(t)＝dt
-3ln|m _0-2m（t）|=t+c，c为任意常数
|m0−2m(t)|＝e−
1
3
(t+c)＝e−
1
3
c•e−
1
3
t＝Ce−
1
3
t，，C为任意非负数
所以， m0＝2m(t)＝ce−
1
3
t，c为任意常数
代入初始条件t=0时，m（t）=5m _0
可得：c=-9m _0
所以， m0−2m(t)＝−9m0e−
1
3
t
m(t)＝
1
2
m0+
9
2
m0e−
1
3
t
步骤 3：求解时间
令m（t）=m _0，即
1
2
m0+
9
2
m0e−
1
3
t＝m0
9e−
1
3
t＝1
−
1
3
t＝ln
1
9
＝−2ln3
t=6ln3
由于本题排入湖泊中含A污水的浓度采用最大限度，所以，至多经过6ln3年，湖泊中污染物A的含量降至m _0以内．